4.3.2　等比数列的前n 项和公式
第1课时　等比数列前n 项和公式
学习目标　1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
知识点一　等比数列的前n 项和公式已知量
首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式S n ＝Error!S n ＝Error!
知识点二　等比数列前n 项和的性质
1．数列{a n }为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n 不是偶数)，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍构成等比数列．
等比数列前n项和公式2．若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N *)．
3．若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其
前2n 项中，S 偶
S
奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S
奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝
a 1＋a 2n ＋2
1＋q (q ≠－1)．
1．等比数列前n 项和S n 不可能为0.(　×　)
2．若首项为a 的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n 项和等于na .(　√　)
3．若a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n
1－a .(　×　)
4．若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)，则此数列一定是等比数列．(　√　)
一、等比数列前n 项和公式的基本运算
例1　在等比数列{a n }中，
(1)S2＝30，S3＝155，求S n；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝5
4
，求S5；
(3)a1＋a n＝66，a2a n－1＝128，S n＝126，求公比q.解　(1)由题意知Error!
解得Error!或Error!
从而S n＝1
4
×5n＋1－
5
4
或S n＝
1 080×[1－(－56)n]
11
.
(2)方法一　由题意知Error!解得Error!
从而S5＝a1(1－q5)
1－q
＝
31
2
.
方法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝1
8
，从而q＝
1
2
.
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，
从而S5＝a1(1－q5)
1－q
＝
31
2
.
(3)因为a2a n－1＝a1a n＝128，
所以a1，a n是方程x2－66x＋128＝0的两个根．从而Error!或Error!
又S n＝a1－a n q
1－q
＝126，
所以q＝2或1 2 .
反思感悟　等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，a n，n，q，S n，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，
有时会用到整体代换，如q n，
a1
1－q
都可看作一个整体．
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
跟踪训练1　在等比数列{a n}中．
(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ；
(2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .
解　(1)由S n ＝a 1－a n q 1－q
得，112＝2－162q 1－q ，∴q ＝－2，
又由a n ＝a 1q n －1得，16
2＝2(－2)n －1，∴n ＝5.
(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不符合题意，
∴q ≠1，
∴S 4＝
a 1(1－q 4)1－q ＝1，S 8＝a 1(1－q 8)
1－q ＝17，
两式相除得1－q 8
1－q 4
＝17＝1＋q 4，∴q ＝2或q ＝－2，
∴a 1＝
115或a 1＝－15，∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.二、利用错位相减法求数列的前n 项和
例2　求数列{n
2n
}的前n 项和．解　设S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2
n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2
n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )
1－12
－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1.∴S n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－n ＋22n (n ∈N *)．反思感悟　错位相减法的适用范围及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况．
跟踪训练2　已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18
成等差数列，公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
解　(1)设等比数列{a n }的公比为q ，
a 1＝12
，因为a 1，a 2，a 3－18
成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－18
，即得4q 2－8q ＋3＝0，
解得q ＝12或q ＝32
，又因为q ∈(0,1)，所以q ＝12
，所以a n ＝12·(12)
n －1＝12n .(2)根据题意得S n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×1
2n ，12S n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12
n ＋1，两式相减得
12S n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12
n ＋1＝12＋12×1－12n －11－12
－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－2n －12
n ＋1，所以S n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n ，n ∈N *.三、等比数列前n 项和的性质
例3　(1)在等比数列{a n }中，若S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________.
(2)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝________.
(3)若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和为S n ＝3n ＋1－2k ，则实数k ＝________.
答案　(1)28　(2)2　(3)32
解析　(1)∵数列{a n }是等比数列，且易知公比q ≠－1，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也构成等比数列，即7，S 4－7,91－S 4构成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.又S 4＝a
1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)>0，∴S 4＝28.
(2)由题意知S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，
∴S 奇＝－80，S 偶＝－160，∴q ＝S 偶
S 奇＝2.
(3)∵S n ＝3n ＋1－2k ＝3·3n －2k ，且{a n }为等比数列，
∴3－2k ＝0，即k ＝32
.延伸探究
本例(3)中，若将条件改为“若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和为S n ＝a ·
(13)n －1＋5”，再求实数a 的值．
解　由S n ＝a ·(13)n －1＋5，可得S n ＝3a ·(13)n ＋5，依题意有3a ＋5＝0，故a ＝－53
.反思感悟　处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．
跟踪训练3　(1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝3，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12等于(  )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
答案　C
解析　S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．
即1,2，a 9＋a 10＋a 11＋a 12成等比数列．
∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝4.
(2)一个项数为偶数的等比数列{a n }，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．
解　设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，