（经典）讲义：等比数列及其前n项和
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3．等比中项
若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
【注意】
6.利用错位相减法推导等比数列的前n项和：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，
两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝(q≠1)．
7.1由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
8.等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
一、知识梳理
1.等比数列前项和公式
(1) | 探索导引: 求和 |
说明：对于等比数列的前项和公式: 从方程观点看等比数列前n项和公式:由等比数列的前项和公式及通项公式可知,若已知中的三个即可建立方程组求其余两个,即“知三求二”.在运用等比数列的前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1. | |
(1)若等比数列中,公比为,依次项和成公比为的等比数列. (2)若等比数列的公比为,且项数为,则. | 探索导引: 等比数列中，已知，，求，并考虑等式是否成立？ |
说明：利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时,要注意是成等比数列,而不是成等比数列. | |
二、方法
（一）等差数列前项和公式的应用
理解例题1:在等比数列中， （1）已知求； （2）已知求； （3）已知求和； （4）已知求； 分析:在等比数列中有五个重要量只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中和两个最重要的量,通常要先求出和. 解:(1). . (2)， (3)，， (4) （2）÷（1）得 或 当时，，当时， | 知识体验:已知等比数列的五个量中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前项和公式. |
（二）与等差数列前项和有关的性质的应用
理解例题2:等比数列中,求. 分析: 在有关等比数列的问题中, 均可化成有关、的关系列方程求解.本题中注意下标的关系,可考虑用等差数列前项和的有关性质来简化运算. 解法一: 由，可知（若） 解得， 解法二:成等比数列 | 知识体验: 在学习了等比数列前项和的有关性质后，我们用其来求解有关 等差数列的前项和问题. 方法提炼:求解该类问题一般有两种方法: ①可化成有关、的关系列方程组求解. ②可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解. |
三、 例题
（一） 题型分类全析
1．等比数列前项和公式的基本运算
例1：在等比数列的中:求公比, 及. 思路直现:由已知两个条件，可建立关于的方程组，分别解出的值，代入即可求出. 解:由已知可得 总结：在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法. 例2 已知数列是等比数列,其前项和,若,求该数列的公比. 思路直现:由已知两个条件，可建立关于的方程组，分别解出的值，代入即可求出. 解: 若,则, , ,此时 , 即, 即 故. 笔记：在使用等比数列的前项和公式时,一定要注意公式的条件.若题目中不明确,应对进行讨论. | 本题有关等比数列前项和的基本运算的考查. 转化为关于的方程组求解. 本题考查了等比数列前项和公式的运用和分类讨论的思想. 因不知的值,故对进行讨论. |
2．利用等差数列的性质求和
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