山东 张吉林（山东省莱州五中 邮编261423）
等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：
当等比数列前n项和公式时， ① 或 ②
当q=1时，
本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。
一般地，设等比数列它的前n项和是
公式的推导方法一：
当时，由
得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时常用公式①；当已知, q, 时，常用公式②.
拓展延伸：若是等差数列，是等比数列，对形如的数列，可以用错位相减法求和。
例题 数列的前项和，则的表达式为（ ）．
A． B．
C． D．
解析：由，①
可得，②
②－①，得，故选（D）．
点评：这个脱胎于课本中等比数列前项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地方，应予以高度的重视。
公式的推导方法二：
当时，由等比数列的定义得，
根据等比的性质，有
即
∴当时， 或
当q=1时，
该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式，给我们以耳目一新的另类感觉。
导后反思：定义是基础，深刻理解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的结论和规律。例如等比数列的一个常用性质：
已知数列是等比数列（），是其前n项的和，则，…，仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程：
证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；
（2）当q≠1时，
∴=
∴成等比数列.
［这一过程也可如下证明］：
证明二：－=－
===
同理，－==
∴成等比数列。
对比以上两种证明过程，我们不难看出，利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到很简捷的效果。
公式的推导方法三：
＝
＝＝
∴当时， 或
当q=1时，
“方程”在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章的公式考察中常利用方程思想构造方程（或方程组），在已知量和未知量之间搭起桥梁，来求解基本量，使问题得到解决。这种推导方法正是运用了该思想，使我们的思维不拘泥于书本。
. 以上三种推导方法，从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式，着眼点不同，侧重点各异，从而在推导方法的运用上也各有千秋，推导方法一注重补因子后错位相减；推导方法二则侧重于前n项的和式与定义式的联系；而推导方法三则是构造了间的递推关系式，充分利用了和首项及公比之间的关系来得前n项的和公式。希望同学们在学习中认真领悟，仔细体味，以求使思维得到更为灵活广阔的锻炼。
发布评论