等比数列及其前n项和考点与题型归纳
一、基础知识
1．等比数列的有关概念
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
-
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列与指数型函数的关系
当q>0且q≠1时，an＝·qn可以看成函数y＝cqx，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上；
对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝＝－qn＋，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点．
对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点．
二、常用结论汇总——规律多一点
设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
·
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*.
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列．
(5)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.
[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
%
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
[解] (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
]
若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.
由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
[题组训练]
1．已知等比数列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝( )
A．2 B．4
D．2
~
解析：选B 由题意，设等比数列{an}的公比为q，q>0，则a＝a2a4＝1，又a2＋a4＝，且{an}单调递减，所以a2＝2，a4＝，则q2＝，q＝，所以a1＝＝4.
2．(2019·长春质检)已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－
S4＝6a4，则a5＝( )
A．4 B．10
C．16 D．32
解析：选C 设公比为q(q>0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，则a5＝2×23＝16.
3．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，
~
则解得
则a8＝a1q7＝×27＝32.
答案：32
[典例] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
^
[证明] 因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
[解题技法]
.
1．掌握等比数列的4种常用判定方法
定义法
中项公式法
通项公式法
前n项和公式法
2．等比数列判定与证明的2点注意
~
(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．
(2)证明一个数列{an}不是等比数列，只需要说明前三项满足a≠a1·a3，或者是存在一个正整数m，使得a≠am·am＋2即可．
[题组训练]
1．数列{an}的前n项和为Sn＝2an－2n，证明：{an＋1－2an}是等比数列．
证明：因为a1＝S1,2a1＝S1＋2，
所以a1＝2，由a1＋a2＝2a2－4得a2＝6.
由于Sn＝2an－2n，故Sn＋1＝2an＋1－2n＋1，后式减去前式得an＋1＝2an＋1－2an－2n，即an＋1＝2an＋2n，
|
所以an＋2－2an＋1＝2an＋1＋2n＋1－2(2an＋2n)＝2(an＋1－2an)，
又a2－2a1＝6－2×2＝2，
所以数列{an＋1－2an}是首项为2、公比为2的等比数列．
2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上．在数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
解：(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1.
>
∴数列{an}是一个以2为首项，1为公差的等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.
(2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，
∴Tn＝－bn＋1.①
∴Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)．②
①②两式相减，得
bn＝－bn＋bn－1(n≥2)．
}
∴bn＝bn－1，∴bn＝bn－1.
由①，令n＝1，得b1＝－b1＋1，∴b1＝.
∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．
考法(一) 等比数列项的性质
[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为( )
A．－ B．－
}
D．－ 或
(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－，故选B.
(2)由分数的性质得到＋＋…＋＝＋＋…＋.因为a8a1＝a7a等比数列前n项和公式2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝，又a1a2…a8＝16＝(a4a5)4，an>0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2.故选A.
[答案] (1)B (2)A
。
考法(二) 等比数列前n项和的性质
[典例] 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )
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