求数列前N项和的七种方法（含例题和答案）
求数列前N 项和的七种方法
点拨:
1. 公式法
等差数列前n 项和：
11()(1)
22
n n n a a n n S na d ++=
=+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g
，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =
(
)1111n n a q q S q等比数列前n项和公式
-≠=
-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：
1、)1(211+==∑=n n k S n
k n 2、)12)(1(611
2
++==∑=n n n k S n
k n
3、21
3)]1(21[+==
∑=n n k S n
k n [例1] 已知3
log 1log 23-=
x ，求+++++n
x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=?-=?-=
x x x
由等比数列求和公式得 n
n x x x x S ++++=32 （利
用常用公式）
＝x x x n --1)1(＝
2
11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *
,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=
n n S n ， )2)(1(2
1
1++=+n n S n （利用常用公式）
∴ 1)32()(++=
n n S n S n f ＝64
342++n n n
＝
n
n 64341+
+＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当
n
n 8=
，即n ＝8时，501)(max =n f
2. 错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：1
32)12(7531--+++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1
)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1
-n x
}的通
项之积
设n
n x n x x x x xS )12(7531432-+++++=………………………. ② ①－②得 n
n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--++++++=--
（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----?
+=-- ∴ 2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列
,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和.
解：由题可知，{
n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n n
S 2226242232++++=…………………………………①
1
4322
226242221+++++=n n n
S ………………………………②
（设制错位）
①
－
②
得
14322
22222222222)211(+-+++++=-n n n n
S
（错位相减）
1
1
2
221
2+--
-
=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
练习：
求：S n =1+5x+9x 2+·+(4n-3)x n-1
解：S n =1+5x+9x 2+·+(4n-3)x n-1
①
①两边同乘以x ，得
x S n =x+5 x 2+9x 3+·+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+·+
n x ）-（4n-3）x n
当x=1时，S n =1+5+9+·+（4n-3）=2n 2-n
当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n