普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第I卷 选择题
一、单项选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ＝( )
A.－－i B.－＋i C.－－i D.－＋i
A.9 B.8 C.5 D.4
3. 函数f(x)＝的图象大致为( )
A B
C D
4. 已知向量a,b满足|a|＝1,a·b＝－1,则海南省公务员考试真题及答案a·(2a－b)＝( )
A.4 B.3 C.2 D.0
A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x
6. 在△ABC中,cos ＝,BC＝1,AC＝5,则AB＝( )
A.4 B. C. D.2
7. 为计算S＝1－＋－＋…＋－,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )
A.i＝i＋1? B.i＝i＋2? C.i＝i＋3? D.i＝i＋4?
8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30＝7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )
A. B. C. D.
9. 在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10. 若f(x)＝cos x－sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( )
A. B. C. D.π
11. 已知f(x)是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f(1－x)＝f(1＋x),若f(1)＝2,则f(1)＋f(2)＋f(3)
＋…＋f(50)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
12. 已知F1,F2是椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P＝120°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
第II卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为________.
14. 若x,y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________.
15. 已知sin α＋cos β＝1,cos α＋sin β＝0,则sin(α＋β)＝________.
16. 已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为________.
三、计算题:本题共5小题，每题12分，共60分。把解答写在答题卡中指定的答题处，要求写出必要的文字说明、方程式和演算步骤。
17. 记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1＝－7,S3＝－15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn,并求Sn的最小值.
18. 如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:＝99＋17.5t.
（1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19. 设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|＝8.
（1）求l的方程；
（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
20. 如图,在三棱锥PABC中,AB＝BC＝2,PA＝PB＝PC＝AC＝4,O为AC的中点.
（1）求证:PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
21. 已知函数f(x)＝ex－ax2.
（1）若a＝1,求证:当x≥0时,f(x)≥1；
（2）若f(x)在(0,＋∞)只有一个零点,求a.
四、选考题:本题共2小题，每题10分，考生任选一道作答，多答无效。把解答写在答题卡中指定的答题处，要求写出必要的文字说明、方程式和演算步骤。
22. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
23. 设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
（1）当a＝1时,求不等式f(x)≥0的解集；
（2）若f(x)≤1,求a的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考解析
1. ＝( )
A.－－i B.－＋i C.－－i D.－＋i
答案：D 【解析】＝＝－＋i.
2. 已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
答案：A 【解析】当x＝－1时,y2≤2,得y＝－1,0,1；当x＝0时,y2≤3,得y＝－1,0,1；当x＝1时,y2≤2,得y＝－1,0,1.所以集合A中元素有9个.
3. 函数f(x)＝的图象大致为( )
A B
C D
答案：B 【解析】f(－x)＝＝－＝－f(x),则f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A；当x＝1时,f(1)＝e－＞0,排除D；当x→＋∞时,f(x)→＋∞,排除C.故选B.
4. 已知向量a,b满足|a|＝1,a·b＝－1,则a·(2a－b)＝( )
A.4 B.3 C.2 D.0
答案：B 【解析】由题意,a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.
5. 双曲线－＝1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x
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