考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编19
(总分150,考试时间180分钟)
选择题
1. 1.[2002年]  设函数f(u)可导，y=f(x2)．当自变量x在x=一1处取得增量Δx=一0．1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0．1，则f＇(1)=(    )．
A. 一1        B. 0．1
C. 1        D. 0．5
2. 2.[2002年]  设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则(    )．
A. 当f(x)=0时，必有f′(x)=0
B. 当f′(x)存在时，必有f′(x)=0
C. 当f(x)=0时，必有f′(x)=0
D. 当f′(x)存在时，必有f′(x)=0
3. 3.[2013年]  设函数f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt则(  )．
A. x=π是函数F(x)的跳跃间断点
B. x=π是函数F(x)的可去间断点
C. F(x)在x=π处连续但不可导
D. F(x)在x=π处可导
4. 4.[2003年]  设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图1．2．5．1所示，则f(x)有(    )．
A. 一个极小值点和两个极大值点
B. 两个极小值点和一个极大值点
C. 两个极小值点和两个极大值点
D. 三个极小值点和一个极大值点
5. 5.[2009年]  若f″(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2．则函数f(x)在区间(1，2)内(    )．
A. 有极值点，无零点
B. 无极值点，有零点
C. 有极值点，有零点
D. 无极值点，无零点
填空题
6. 6.[2007年]  设函数y=1／(2x+3)，则y(n)(0)=________．
7. 7.[2010年]  函数y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=_________．
8. 8.[2015年]  函数f(x)=x2·2x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=_________．
9. 9.[2016年]  已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_________．
10. 10.[2014年]  设z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z=确定的函数，则=__________.
11. 11.[2005年]  设y=(1+sinx)x，则dy∣x=π=_________．
12. 12.[2001年]  已知f(x)在(一∞，+∞)内可导，f′(x)=e，[f(x)一f(x一1)]，则c=_________．
13. 13.[2003年]  在y=2x的麦克劳林公式中含xn项的系数是_________．
解答题
14. 14.[2009年]  (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)使得f(b)一f(a)=f′(ξ)(b－a)．
(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f′(x)=A，则f′+(0)存在，且f′+(0)=A．
15. 15.[2007年]  设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)使得f″(ξ)=g″(ξ)．
[2013年]  设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
2019年考研数学三答案16. 16.存在ξ∈(0，1)，使得f′(∈)=1；
17. 17.存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．
[2005年]  已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：
18. 18.存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ；
19. 19.存在两个不同的点η∈(0，1)，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)=1．
20. 20.[20l0年]  设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1／3．证明：存在ξ∈(0，1／2),η∈(1／2，1)，使得f′(ξ)+f′(η)=ξ2+η2．
[2003年]  设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x＞0．若极限存在，证明：
21. 21.在(a，b)内f(x)＞0；
22. 22.在(a，b)内存在点ξ，使(b2－a2).
23. 23.在(a，b)内存在与(2)中手相异的点η，使f′(η)(b2一a2)=f(x)dx．
24. 24.[2008年]  (I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得f(x)dx=f(η)(b一a)．
(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ″(ξ)＜0．
25. 25.[2010年]  求函数f(x)=∫1x2(x3一t)e-t3dt的单调区间与极值．
26. 26.[2014年]  已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y′=1一y′，且y(2)=0．求y=y(x)的极大值与极小值．