吉林大学
2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题
数学分析卷
一、（共30分）判断题
1、若函数()f x 在(),a b 上Riemann 可积，则()2
f x ⎡⎤⎣⎦在(),a b 也Riemann 可积； 2、若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，则级数
1
n
n a
∞
=∑也收敛；
3、任何单调数列必有极限；
4、数列
(){}1n
-的上、下极限都存在；
5、区间(),a b 上的连续函数必能达到最小值；
6、sin x 在整个实轴上是一致连续的；
7、若函数(),f x y 沿着任何过原点的直线连续，则(),f x y 在()0,0连续； 8、若函数()f x 在点0x 取极小值，则()00f x '=；
9、若()00f x '=，()00f x ''<，则()f x 在点0x 取极大值；
10、向量场()
222222
,,x y y z z x ---是无源场。
二、（共20分）填空题
1、设()()sin u x y x y z =+++，则grad ()u =；
2、设(),,F x y y z z x →
=+++，则div ()F →
=； 3、设(),,F x yz y zx z xy →
=---，则rot (
)F →
=；
4、设s 表示单位球面2
2
2
1x y z ++=，则第一型曲面积分
()2s
x ds =⎰⎰；
5、数列()2
211n n n ⎧⎫
+-⎨⎬⎩⎭
的下极限为()；
三、（共20分）计算下列极限
1、1200611lim n
n n k k →∞
=⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑；
2
、01lim
x x
→；
3、111lim 200620071n n n n n →∞⎛
⎫+++
⎪++++⎝
⎭L ； 4、1
2
0lim 1n
n x dx x x →∞++⎰。 四、（共20分）判断下列级数的敛散性
1、1200620072005
n
n n
n ∞
=-∑； 2、1n n u ∞
=∑，其中()2
120,,1,2,1n n n
u n u n u n ->≤=+L  五、（10分）设函数()f x 在[]0,1两次连续可微，满足()()010f f ==且()1
0f x dx =⎰。
证明：存在()0,1ξ∈使得()0f ξ''=。 六、（10分）计算第二型曲线积分
2222343434C x y
dx dy x y x y -++⎰
其中C 为单位圆周2
2
1x y +=，方向为顺时针方向。
七、（10分）证明，对任意0x >，都有
3sin 6
x x x >-
八、（10分）设,,,a b αβ均为常数，且对任意x 都有
()sin x x ax b αβ+=+
证明：0a b αβ====
九、（10分）证明，不存在[)0,∞上的正的可微函数()f x ，满足
()
0f x '+≤
十、（10分）试构造区间[]0,1上的函数序列(){}
n f x ，具有如下性质： （1）对每个n ，()n f x 是[]0,1上的正的连续函数；
（2）对每个固定的[]0,1x ∈，()lim 0n n f x →∞
=；
（3）()1
lim
n
n f x dx →∞=+∞⎰
高等代数与空间解析几何卷
一、（共32分）填空
1、平面上的四个点()(),1,2,3,4i i x y i =在同一个圆上的充要条件为_____。（要求用含有,i i x y 的等式表示）；
2、设方阵A 只与自己相似，则A 必为_____；
3、设1
112
223
3
3a b c A a b c a b c ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
为可逆矩阵，则直线121212
x y z a a b b c c ==
---与直线232323
x y z
a a
b b
c c ==
---的位置关系为_____。（要求填写相交、平行、重合、异面四者之一）；
4、设()1234,,,A αααα=为四阶正方矩阵，其中1234,,,αααα均为四维列向量；
1242βααα=+-，1233ααα=-，且234,,ααα线性无关。求线性方程组AX β=的通解
_____；
二、（16分）求二次曲面2
2
2
24246120x y z xz x y z --+--+-=的主方向；
三、（17分）设V 为n 维欧式空间，12,,,n u u u L 与12,,,n v v v L 为V 中向量，12,,,n u u u L 线性无关，且对任意的(),,1,2,,i j i j n =L 均有i j i j u u v v =。证明，必有V 上的正交变换σ，使得
()()1,2,,i i u v i n σ==L
四、（17分）设V 为数域Ω上的n 维向量空间，,στ均为V 上的线性变换，且满足
0στστ++=。证明：σττσ=
五、（17分）设A 为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵B ，使得A B +为正定矩阵。 六、（17分）设V 为数域Ω上的2n 维向量空间，σ为V 上的线性变换，且()Ker V σσ=。
证明，存在V 的一个适当基底及Jordan 形矩阵A ，使得σ在该基底下恰好对应矩阵A 。 七、（17分）设V 为实数域上的全体n 阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间，σ为V 上的线性变换，且对任意的A ，()T A A σ=。
1、求σ的特征值；
2、对于每一个特征值，求其特征子空间；
2019年考研数学三答案3、证明V 恰为σ的所有特征子空间的直接和。 八、（17分）设()
ij
n n
A a ⨯=为n 阶实方阵，若对任意的()1,2,,i i n =L 均有1,n
ii ij i j i
a a =≠>
∑
，
则称A 为对角占优矩阵。证明，对角占优矩阵必为可逆矩阵。
吉林大学
2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题
数学分析卷
一、（共30分）判断题
1、Riemann 函数在任何有限区间上都是Riemann 可积的；
2、若无穷积分
()0
f x dx ∞
⎰
收敛，则无穷积分()0
f x dx ∞
⎰也收敛；
3、任何单调递增且有下界的数列必有极限；
4、有界数列的上、下极限都存在；
5、连续函数一定是有界函数； 6
7、若函数(),f x y 在()0,0处的两个偏导数，则(),f x y 在()0,0连续； 8、1
sin
x
在()0,1内有无穷多个极大极小值点； 9、若()00f x '=，则()f x 在点0x 必取极大值或极小值；
10、向量场()
222222
,,y z z x x y ---是无源场。
二、（共20分）填空题
1、设()
222
arctan u x y z =++，则grad (
)u =；
2、设()sin ,cos ,F x y x y z →=++，则div ()F →
=； 3、设()
2
2
2
,,F x yz y zx z xy →
=---，则rot (
)
F →
=；
4、设s 表示单位球面2221x y z ++=，则第一型曲面积分
()
()3
s
x y z ds ++=⎰⎰；
5、数列()
11n
n n +⎧⎫
-⎨⎬⎩
⎭
的上、下极限的和为()；
三、（共20分）计算下列极限
1、222222lim 12n n
n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭
L ；
六、（10分）计算第二型曲面积分
222
222222
222x y z
dydz dzdx dxdy x y z x y z x y z ∑++++++++⎰ 其中∑为球面2221x y z ++=的内侧。
吉林大学
2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题
数学分析卷
一、 二、
3、
2
1
1
y x
dx e dy ⎰
⎰
4、()2
2
234L xy x y ds +-⎰，L 为椭圆
22
143
x y +=，周长为a 。 三、
1、设()f x 于(),-∞+∞上二次连续、可微，存在不低于整数x 的常数0r >，使得
()f x r '≥。记((0),)f η∈+∞，证明：存在,ξ使()f ξη=
2、()f x 和()g x 皆为区间[],a b 上的连续函数，(,)K x y 在[,][,]a b a b ⨯上二次连续，