[考研类试卷]考研数学三（概率统计）模拟试卷19
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件
（A）A1，A2，A3相互独立
（B）A2，A3，A4相互独立
（C）A1，A2，A3两两独立
（D）A2，A3，A1两两独立
二、填空题
2 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1一
2X2)2+b(3X3一4X4)2。则当a=________，b=________时，统计量X服从χ2分布，其自由度为________。
3 设总体X的概率密度为(一∞＜x＜+∞)，X1，X2，…，X n为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2=________。
4 设X1，…，X n是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未
知。记则假设H0：μ=0的t检验使用的统计量t________。
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
求常数A及条件概率密度f Y|X(y|x)。
6 已知随机变量(X，Y)的联合密度为试求：(1)P{X＜Y}；(2)E(XY)；
7  设作一次实验的费用为1000元，如果实验失败，则要另外再花300元对设备调整才能进行下一次的
实验。设各次实验相互独立，成功的概率均为0．2，并假定实验一定要进行到出现成功为止。求整个实验程序的平均费用。
8 设X1，X2，…，X n(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，其样本均值为
。记Y i=X i一，i=1，2，…，n。求：(Ⅰ)求Y i的方差DY i，i=1，2，…，n；(Ⅱ)求Y1与Y n的协方差cov(Y1，Y n)；(Ⅲ)若c(Y1+Y n)2是σ2的无偏估计量，求常数c。
9 设总体X的概率密度为其中θ是未知参数(0＜θ＜1)，X1，X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2，…，x n中小于1的个数。求(Ⅰ)θ的矩估计；(Ⅱ)θ的最大似然估计。
10 设总体X的概率密度为其中参数θ(0＜θ＜1)未知，X1，X2，…，X n是来自总体X的简单随机样本，是样本均值。(Ⅰ)求参数θ的矩估计量；(Ⅱ)判断是否为θ2的无偏估计量，并说明理由。
11 设X1，X2，…，X n是总体N(μ，σ2)的简单随机样本，记
(Ⅰ)证明T是μ2的无偏估计量；(Ⅱ)当μ=0，σ=1时，求DT。
12 设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零。X1，X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量。
13 设总体X的概率密度为其中θ为未知参数。X1，X2，…，X n为来自该总体的简单随机样本。(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量。
14 设总体X～B(m，p)，其中m已知，p未知，从X中抽得简单样本X1，…，
X n，试求p的矩估计和最大似然估计。
2019年考研数学三答案15 设总体的密度为：从X中抽得简单样本
X1，…，X n。试求未知参数θ的矩估计和最大似然估计。
16 设总体的密度为：其中θ＞0，而θ和μ为未知参数。从X中抽得简单样本X1，X2，…，X n。试求θ和μ的矩估计和最大似然估计。
17 设总体X在区间(μ一p，μ+ρ)上服从均匀分布，从X中抽得简单样本X1，…，X n，求μ和ρ(均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性。
18 设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，其中θ＞0为未知参数，而X1，…，X n 为从X中抽得的简单样本，试求θ的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是θ的无偏估计?
19 设Y=lnX～N(μ，θ2)，而X1，…，X n为取自总体X的简单样本，试求EX的最大似然估计。
20 从均值为μ方差为σ2＞0的总体中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，样
本均值分别记为，试证对任意满足a+b=1的常数a、b，都是μ的无偏估计。并确定a、b，使D(T)达到最小。
21 总体X～N(2，σ2)，从X中抽得简单样本X1，…，X n试推导σ2的置信度为1一α的置信区间。若样本值为1．8，2．1，2．0，1．9，2．2，1．8．求出σ2的置信度为0．95的置信区间(χ0．9752(6)=14．449，χ0．9752(6)=1．237，下分位数。)
22 为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响，独立地选了十三个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表：
设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为0．95的置信区间(t0．0975(11)=2．201，下侧分位数)。
23 某种清漆的9个样品的干燥时间(小时)为：6．5，5．8，7，6．5，7，6．3，5．6，6．1，5．设干燥时间X～N(μ，σ2)，求μ的置信度为0．95的置信区间。在(1)σ=0．6(小时)；(2)σ未知。两种情况下作(μ0．975=1．96，t0．975(8)=2．3060，下侧分位数)
24 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11．设炮口速度服从正态分布，求这种
炮弹的炮1：3速度的标准差的置信度为0．95的置信区闻。χ0．02552(8)=2．180，χ0．9752(8)=17．535，下侧分位数。
25 一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球之比为R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记X为所抽的白球数。这样做了n次以后，我们获得一组样本：X1，X2，…，X n。基于此，求R的最大似然估计。
26 用过去的铸造方法，零件强度的标准差是1．6kg／mm2。为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下： 52，53，53，54，54，54，54，51，52．设零件强度服从正态分布，取显著性水平α=0．05，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化? (χ0．9752(8)=17．535，χ0．0252(8)=2．180，下侧分位数)
27 一批矿砂的4个样品中镍含量测定为(％)：3．25，3．26，3．24，3．25．设测定值总体服从正态分布，问在α=0．01下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值是3．26(t0．995(3)=5．8409，下侧分位数)
28 用两种方案进行某种产品的销售，得部分销售量为： A方案：140，138，143，142，144，139； B方案：135，140，142，136，135，140．设两种方案下的销售量均服从正态分布，试在α=0．05下检验两种方案的平均销售量有无显著差异
(t0．975(10)=2．228，F0．975(5，5)=7．15，下侧分位数。提示：先检验方差相等)。