一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) .
(2) 已知则 .
(3) 级数的和为 .
(5) 设总体的方差为1,根据来自的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设则在点处 ( )
(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续
(C) 连续但不可导 (D) 可导
(A) (B)
(C) (D)
(3)阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的 ( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件
(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件
(4) 假设事件和满足,则 ( )
(A)是必然事件 (B).
(C) (D)
(5) 设随机变量的密度函数为,且.是的分布函数,则对任意实数,有 ( )
(A). (B)
(C) (D)
三、(本题满分5分)
设是由方程所确定的二元函数,求.
四、(本题满分7分)
已知,求常数的值.
五、(本题满分9分)
设某产品的成本函数为需求函数为其中为成本,为需求量(即产量),为单价,都是正的常数,且,求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润;
(2) 需求对价格的弹性;
(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.
六、(本题满分8分)
假设:(1) 函数满足条件和;
(2) 平行于轴的动直线与曲线和分别相交于点和;
(3) 曲线,直线与轴所围封闭图形的面积恒等于线段的长度.
求函数的表达式.
七、(本题满分6分)
假设函数在上连续,在内二阶可导,过点与的直线与曲线相交于点,其中.
证明:在内至少存在一点,使.
八、(本题满分10分)
为何值时,线性方程组
有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.
九、(本题满分9分)
设二次型
经正交变换化成,其中和是三维列向量,是3阶正交矩阵.试求常数.
十、(本题满分8分)
设随机变量和同分布,的概率密度为
(1) 已知事件和独立,且求常数
(2) 求的数学期望.
十一、(本题满分8分)
假设一大型设备在任何长为的时间内发生故障的次数2019年考研数学三答案服从参数为的泊松分布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；
(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率.
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】,
极限 , 而 ,
所以 .
(2)【答案】
【解析】令则有,则
由复合函数求导法则知
(3)【答案】
【解析】利用几何级数求和公式令,即得
(4)【答案】
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.
由于,说明中3阶子式全为0,于是的代数余子式故.
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