考研数学三（线性代数）模拟试卷19 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设三阶矩阵A的特征值为一1，1，2，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(3α2，-α3，2α1)，则P-1AP等于(    )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：显然3α2，-α3，2α1也是特征值1，2，一1的特征向量，所以P-1AP=，选
2019年考研数学三答案C． 知识模块：线性代数
2． 设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则(    )．
A．A，B相似于同一个对角矩阵
B．存在正交阵Q，使得QTAQ=B
C．r(A)=r(B)
D．以上都不对
正确答案：D
解析：令A=，显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C都不对，选
D． 知识模块：线性代数
3． 设A是n阶矩阵，下列命题错误的是(    )．
A．若A2=E，则一1一定是矩阵A的特征值
B．若r(E+A)＜n，则一1一定是矩阵A的特征值
C．若矩阵A的各行元素之和为一1，则一1一定是矩阵A的特征值
D．若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则一1一定是A的特征值
正确答案：A
解析：若r(E+A)＜n，则｜E+A｜=0，于是一1为A的特征值；若A的每行元素之和为一1，则，根据特征值特征向量的定义，一1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA=E，令AX=λE(其中X≠0)，则XTAT=λXT，于是XTATAX=λ2XTX，即(λ2一1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得一1为A的特征值，选A． 知识模块：线性代数
4． 与矩阵A=相似的矩阵为(    )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选
D． 知识模块：线性代数