考研数学三分类模拟题2019年(15)
(总分72, 做题时间90分钟)
一、填空题
1.
______．
分值: 1
因为
所以原式
所以原式
2.
分值: 1
答案:0
3.
设f(x)在x=0处存在二阶导数，f(0)=0，f'(0)=a(a≠0)，则=______．
分值: 1
而
所以
所以原题=．
4.
若二次型f(x1，x2，x3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则a的取值范围是___
___．
分值: 1
二次型f的矩阵为
因为f正定A的顺序主子式全大于零，即
Δ1=a＞0
Δ2==4a-9＞0
Δ3=|A|=4a2-10a＞0
故f正定．
二次型xTAx正定≠0，恒有xTAx＞0A的特征值全大于0二次型的正惯性指数p=nA与E合同，即有可逆矩阵C使A=CTCA的顺序主子式全大于0．
二次型xTAx正定的必要条件：aii＞0与|A|＞0．
因为f正定A的顺序主子式全大于零，即
Δ1=a＞0
Δ2==4a-9＞0
Δ3=|A|=4a2-10a＞0
故f正定．
二次型xTAx正定≠0，恒有xTAx＞0A的特征值全大于0二次型的正惯性指数p=nA与E合同，即有可逆矩阵C使A=CTCA的顺序主子式全大于0．
二次型xTAx正定的必要条件：aii＞0与|A|＞0．
5.
设=5，则=______．
分值: 1
答案:10ln3
由所给极限及(3x-1)=0得到
，
从而(x→0)．
故．
，
从而(x→0)．
故．
6.
设线性方程组A3×4x=b，即
有通解k[1，2，-1，1]T+[1，-1，0，2]T，其中k是任意常数，则方程组B3×3x=b即
有一个特解是______．
有通解k[1，2，-1，1]T+[1，-1，0，2]T，其中k是任意常数，则方程组B3×3x=b即
有一个特解是______．
分值: 1
答案:(-3，1，1)T
由观察，方程组(2)比方程组(1)减少了一个未知量．若方程组(2)有解ξ=(a，b，c)T，则η=(0，a，b，c)必是方程组(1)的解，现已知方程组(1)有无穷多解k(1，2，-1，1)T+(1，-1，0，2)T，其中k是任意常数，选择任意常数k，使(1)的解的第一个分量为0，即选k=-1，得(1)的一个特解为(0，-3，1，1)T，则向量(-3，1，1)T满足方程组(2)，是方程组(2)的一个特解．
二、选择题
1.
设A是n阶矩阵，下列命题错误的是______．
∙A.若A2=E，则-1一定是矩阵A的特征值
∙B.若r(E+A)＜n，则-1一定是矩阵A的特征值
∙C.若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值
∙D.若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值
A B C D
分值: 1
答案:A
若r(E+A)＜n，则|E+A|=0，于是-1为A的特征值；
若A的每行元素之和为-1，则根据特征值特征向量的定义，-1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA=E，令AX=λX(其中X≠0)，则XTAT=λXT，于是XTATAX=λ2XTX，即(λ2-1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得-1为A的特征值，选A．
若A的每行元素之和为-1，则根据特征值特征向量的定义，-1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA=E，令AX=λX(其中X≠0)，则XTAT=λXT，于是XTATAX=λ2XTX，即(λ2-1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得-1为A的特征值，选A．
2.
若常数p，q，r，满足p≤q≤r，且使得广义积分收敛，则______
∙**+q＜1．
∙**+r＞1．
∙**+q＜1，q+r＞1．
**＜1，r＞1．
A B C D
分值: 1
答案:D
设
min{p，q，r}=p，当x→0+时，由于xp+xq+xr
所以，当min{p，q，r}=p＜1时，收敛．
max{p，q，r)=r，当x→+∞时，由于xp+xq+xr
所以，当max{p，q，r)=r＞1时，收敛．
综上，当min{p，q，r)=p＜1，且max{p，q，r}=r＞1时，收敛．
min{p，q，r}=p，当x→0+时，由于xp+xq+xr
所以，当min{p，q，r}=p＜1时，收敛．
max{p，q，r)=r，当x→+∞时，由于xp+xq+xr
所以，当max{p，q，r)=r＞1时，收敛．
综上，当min{p，q，r)=p＜1，且max{p，q，r}=r＞1时，收敛．
3.
设总体X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则下列正确的是______2019年考研数学三答案
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A B C D
分值: 1
答案:C
由X～N(0，σ2)，有Xi～N(0，σ2)，．
选项A不正确，因为
选项B不正确，因为
选项C正确，因为
又与S2独立，则由χ2分布的可加性知
选项D不正确，因为
选项B不正确，因为
选项C正确，因为
又与S2独立，则由χ2分布的可加性知
选项D不正确，因为
4.
设f(x)=|x|，g(x)=x2-x，则等式f[g(x)]=g[f(x)]成立时，x的变化范围为______
∙A.(-∞，1]∪{0}．
∙B.(-∞，0]．
∙C.[0，+∞)．
∙D.[1，+∞)∪{0}．
A B C D
分值: 1
答案:D
f[g(x)]=|g(x)|=|x2-x|，
g[f(x)]=f2(x)-f(x)=|x|2-|x|=x2=|x|．
由f[g(x)]=g[f(x)]，得|x2-x|=x2-|x|．
当x2≥x，即x≤0或者x≥1时，有x2-x=x2-|x|，即x=|x|x≥0．
综合得x≥1或x=0．
当x2≤x，即1≥x≥0时，x-x2=x2-xx=1或x=0．
综上所述，当x≥1或x=0时，f[g(x)]=g[f(x)]．
g[f(x)]=f2(x)-f(x)=|x|2-|x|=x2=|x|．
由f[g(x)]=g[f(x)]，得|x2-x|=x2-|x|．
当x2≥x，即x≤0或者x≥1时，有x2-x=x2-|x|，即x=|x|x≥0．
综合得x≥1或x=0．
当x2≤x，即1≥x≥0时，x-x2=x2-xx=1或x=0．
综上所述，当x≥1或x=0时，f[g(x)]=g[f(x)]．
5.
∙A.充分条件而非必要条件．
∙B.必要条件而非充分条件．
∙C.充要条件．
∙D.既非充分又非必要条件．
A B C D
分值: 1
答案:D
实际上，在仅设“f(x)在x=x0的某邻域内有定义”的条件下，“存在等于A”与“f'(x0)存在等于A”毫无因果关系．举例说明如下：
例如，设
当x≠0时f(x)=1，f'(x)=0，．但f(x)在x=0处不连续，所以f'(0)不存在．所以“存在等于A”不是“f'(x0)=A”的充分条件．
又如，设
有
f'(0)存在等于0，而不存在．可见“存在等于A”不是“f'(x0)=A”的必要条件．
[评注] “设f(x)在x=x0处连续．在x=x0的某去心邻域内可导，并设存在等于A，则f'(x0)亦存在且等于A”今给予征明如下：
由f(x)在x=x0处连续，所以，极限
为“”型，满足洛必达法则条件(1)．又因在x=x0的某去心邻域f(x)可导，故满足洛必达法则
例如，设
当x≠0时f(x)=1，f'(x)=0，．但f(x)在x=0处不连续，所以f'(0)不存在．所以“存在等于A”不是“f'(x0)=A”的充分条件．
又如，设
有
f'(0)存在等于0，而不存在．可见“存在等于A”不是“f'(x0)=A”的必要条件．
[评注] “设f(x)在x=x0处连续．在x=x0的某去心邻域内可导，并设存在等于A，则f'(x0)亦存在且等于A”今给予征明如下：
由f(x)在x=x0处连续，所以，极限
为“”型，满足洛必达法则条件(1)．又因在x=x0的某去心邻域f(x)可导，故满足洛必达法则
条件(2)．又存在等于A，满足洛必达法则条件(3)，所以
即f'(x0)=A。证毕．此证明中，条件“设f(x)在x=x0处连续”十分重要．不然，得不出“f'(x0)存在且等于A”的结论．
即f'(x0)=A。证毕．此证明中，条件“设f(x)在x=x0处连续”十分重要．不然，得不出“f'(x0)存在且等于A”的结论．
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