2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学（三）试题参考答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1、当0x →时，若tan x x −与k
x 是同阶无穷小，则k =（）A.  1.  B.  2.C.  3.  D.
4.
【答案】 C.
【解析】当0x →时，31
tan 3
x x
x −−，则=3k .2．已知方程550x x k −+=有3个不同的实根，则k 的取值范围为（）A 、 (,4)−∞− B 、(4,)
+∞C 、{}
4,4−D 、(4,4)
−【答案】 D.
【解析】令5
()5f x x x k =−+，由()0f x '=得1x =±，当1x <−时，()0f x '>，当
11x −<<；时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，又由于lim ()x f x →−∞
=−∞，lim ()x f x →+∞
=+∞，
方程要有三个不等实根，只需要(1)=40f k −+>，(1)4<0f k =−+，因此k 的取值范围为
44k −<<.
3．已知微分方程e x y ay by c '''++=的通解为12()e e x
x y C C −=++，则,,a b c 依次为（  ）
A 、1,0,1
B 、 1,0,2
C 、2,1,3
D 、2,1,4
【答案】 D.
【解析】由通解形式知，121λλ==−，故特征方程为
22
1=21=0λλλ+++（），所以2,1a b ==，又由于e x y =是+2x y y y ce '''+=的特解，代入得4c =.
4、若
1
n n nu ∞
=∑绝对收敛，1
n
n v n ∞
=∑
条件收敛，则（  ） A 、
1n n
n u v
∞
=∑条件收敛
B 、
1
n n
n u v
∞
=∑绝对收敛
C 、
1
()n
n n u
v ∞
=+∑收敛
D 、
1
()n
n n u
v ∞
=+∑发散
【答案】 B. 【解析】由
1n n v n
∞
=∑条件收敛知，lim 0n
n v n →∞=，故当n 充分大时，1n v n . 所以，
n
n n n n v
u v nu nu n
=⋅，由于1
n n nu ∞
=∑绝对收敛，所以1
n n n u v ∞
=∑绝对收敛.
5、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组=Ax 0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（    ） A.0  B.1  C.2
D.3
【答案】 A.
【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *
=. 6、设A 是3阶实对称，E 是3阶单位矩阵，若2=2A +A E 且4=A ，则二次型T x Ax 的规范形为（    ）
A. 222
123
y y y ++    B.222
123
y y y +−    C.222
123
y y y −−  D.222
123
y y y −−−【答案】 C.
【解析】2
2λλ+=，则λ只能为2−或1，又由于4=A ，则特征值分别为-2,-2,1，则
二次型的规范形为222
123
y y y −−. 7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是
A.()()().P A B P A P B =+U
B.()()().P AB P A P B =
C.()().P AB P BA =
D.()().
P AB P AB =【答案】C
【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=；选C.
8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2
(,)N μσ，则{1}
P X Y −<A.与μ无关，而与2
σ有关.    B.与μ有关，而与2
σ无关. C.与μ，2
σ都有关.    D.与μ，2
σ都无关.
【答案】A
【解析】2
~(0,2X Y N −
σ，
所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−；
选A
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
9、111lim 1223(1)n
n n n →∞⎡⎤
+++=⎢⎥⋅⋅+⎣
⎦
____________ 【答案】1
e .
−【解析】111+++1223
(1)1n
n n n n n ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯++⎝⎭⎣⎦L ，则1lim e .1n
n n n −→∞⎛⎫
= ⎪+⎝⎭10、曲线π3π
sin 2cos ()22
y x x x x =+−<<；的拐点坐标为____________ 【答案】 π2−（，）
. 【解析】令sin
0y x x ''=−=，可得πx =，因此拐点坐标为π2−（，）. 11、已知1
()
f x t =⎰
，则1
20
()d x
f x x =⎰____________
【答案】
1
(118
−.
【解析】依题意，()
f x '=(1)0f =.因此，
1
11233100
00111()d ()d ()(13318x f x x f x x x f x x x ⎡⎤=
=−=−⎢
⎥⎣⎦⎰
⎰⎰. 12、A 、B 两商品的价格分别为、，需求函数,
,
，求A 商品对自身价格的需求弹性____________ .
【答案】0.4. 【解析】因为d (2)d A A A AA A B A A A
P Q P
P P Q P Q η=−⋅=−⋅−−，将，，1000A Q =代入，可得10
4000.41000
AA η=
⋅=. 13、210111
1011a −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪
−⎝⎭
A ，01a ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭b ，=Ax b 有无穷多解，求____________ 【答案】1.
【解析】因为=Ax b 由无穷多解，故()()3r r =<A A,b ，对矩阵()A,b 作初等行变换，因为
P A P B Q A =500-P A 2-P A P B +2P B 2P A =10P B =20h AA =h >0()P A =10P B =20a =
2101
0()01010011a a −⎛⎫ ⎪
→ ⎪ ⎪−−⎝⎭
A,b ，
故2110a a −=−=，因此1a =.
14、为连续型随机变量，概率密度为, 为的分布函数，为的期望，求{}()1P F X EX >−=____________【答案】2
.
3
【解答】由条件可得22
4
()d d 23
x EX xf x x x +∞
−∞
=
==⎰
⎰
，且可求得分布函数2
0,0,
(),02,4
1,  2.
x x
F x x x <⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩故可得12{()1}{()}.
33P F X EX P F X >−=>=三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、（本题满分10分）
已知2,0,()e 1,0.
x x x x f x x x ⎧>=⎨+⎩求()f x '，并求()f x 的极值.
【答案】f ′(
x )={
2x 2x (lnx +1)；x >0e x (
x +1)；x <0
，
极大值f (0)=1.极小值12019年考研数学三答案
(1)1e f −=−，2e 1()e e
f −=.
【解析】解：当x >0时：
f ′(x )=(e 2xlnx −1)′=(e 2xlnx )′=e 2xlnx (2lnx +2)=2x 2x (lnx +1)
当x <0：
f ′(x )=e x +xe x =e x (x +1)因此f ′(
x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0
当x =0：
X f (x )=x
2
,0<x <20,else
ìíïîïF (x )X EX X
f +′
(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+x 2x −1x =lim x→0+e 2xlnx −1x =lim x→0+2xlnx
x
=−∞
f −′
(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+xe x x
=lim x→0+e x =0
当x >0时，f ′(0)<0，f (x )单调递减，当x <0时，f ′(0)>0，f (x )单调递增因此f (x )在x =0处取得极大值，且f (0)=1.
令()0f x '=得，1x =−及1e x =
. 又1(1)0,()0e f f ''''−>>，故极小值为1(1)1e
f −=−，2e 1
()e e
f −=. 16、（本题满分10分）
已知(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且(,)(,)g x y xy f x y x y =−+−，求22222g g g
x x y y ∂∂∂++∂∂∂∂.
【答案】11
2213.f f ''''−−【解析】依题意知，
12(,)(,)g
y f x y x y f x y x y x
∂''=−+−−+−∂， 12(,)(,)g
x f x y x y f x y x y y
∂''=−+−++−∂. 因为(,)f u v 具有二阶连续偏导数，故12
21f f ''''=，因此，211
1221221112222
()()2g
f f f f f f f x ∂''''''''''''''=−+−+=−−−∂， 211
12212211221()()1g
f f f f f f x y
∂''''''''''''=−−−−=−+∂∂， 211
1221221112222()()2g
f f f f f f f y
∂''''''''''''''=−−+−=−+−∂. 所以，22211222213.g g g
f f x x y y
∂∂∂''''+
+=−−∂∂∂∂17、（本题满分10分）
已知()y x 满足微分方程2
2
e
x y xy '−=
，且满足(1)y =