2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题
考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。）
1．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ）
A．    B．    C．    D．1
2．如图，、都是正方形，边长分别为、（）。坐标原点为的中点，、福建考试网登录系统、在轴上。若二次函数的图像过、两点，则（    ）
A．    B．    C．    D．
（第4题图）
（第7题图）
（第3题图）
（第2题图）
3．如图，为的重心，点在延长线上，且，过、的直线交于点，则（    ）      A．    B．    C．    D．
4．如图，、分别为的垂心、外心，，若外接圆的半径为，则（    ）
A．    B．    C．  D．
5．满足方程的整数对有（    ）
A．0对    B．2对    C．4对    D．6对
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知，，为正整数，且。若，，是三个连续正整数的平方，则的最小值为                  。
7．如图，为矩形，为对角线的中点，、在轴上。若函数（）的图像过、两点，则矩形的面积为                。
8．如图，是边长为8的正三角形，为边上一点，为的内切圆，为的边上的旁切圆。若、的半径都是，则            。
9．若实数满足，则                。
（第8题图）
其中表示不超过的最大整数。
10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：
把一个矩形区域划分成个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这个凸多边形中四边形个数的最大值为          。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．已知二次函数的图像交轴于、两点，且。若函数在上的最小值为，求，的值。
12．如图，在圆内接四边形中，，是边的中点，点在对角线上，且满足。
求证：。
（第12题图）
13．已知关于的方程的两根都是素数，求的值。
14．一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红，使得任意两个红小方格的中心之间的距离大于2，求的最大值。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ）
A．    B．    C．    D．1
【答案】  A   
【解答】依题意，。因此，。
∴  ，。
∴  。
2．如图，、都是正方形，边长分别为、（）。坐标原点为的中点，、、在轴上。若二次函数的图像过、两点，则（    ）
A．    B．    C．    D．
【答案】  B
【解答】依题意，点坐标为，点的坐标为。
（第2题图）
由二次函数的图像过、两点，得
，消去，得。
∴  ，解得（舍负根）。
∴  。
3．如图，为的重心，点在延长线上，且，过、的直线交于点，则（    ）
A．    B．    C．    D．
【答案】  D
【解答】如图，连，并延长交于点。
（第3题图）
∵  为的重心，且，
∴  为中点，且，。
过点作，交于点。
则，。
设，则，，。
∴  ，。
（第3题答题图）
另解：如图，连，并延长交于点。
∵  为的重心，且，
∴  为中点，且，。
∴  ，。
（第3题答题图）
在中，利用梅涅劳斯定理，得。
∴  ，。
∴  。
4．如图，、分别为的垂心、外心，，若外接圆的半径为，则（    ）