专业课笔试
知识点
1.数学语言及证明方法
2.命题逻辑
3.一阶逻辑
4.前三章答题总结
5.关系
6.图
7.树
8.代数系统
第一章. 数学语言及证明方法
第一章只需要掌握一些基本的运算符号，方便看懂书后面的内容。其他的不用花太多的时间。下面我总结了一些平时少见的运算符号（一些基本的运算符我就不列举了）。
1.集合符号
~B：不属于集合B的部分
A-B：属于集合A且不属于集合B的部分。A-B=A∩~B简单理解就是集合A 减掉A与B公共的元素。
A⊕B：属于集合A不属于集合B的部分∪属于集合B不属于集合A的部分。
A⊕B =（A-B）∪（B-A）。
P(A):A的幂集。A所有的子集所组成的集合。当A为n元集时，P（A）=2n。
a|b：a整除b。例如3|9。
gcd(a,b)：a和b的最大公约数。
lcm(a,b): a和b的最小公倍数。
|A|：A集合中元素的个数。
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第二章.命题逻辑
第二章的是重中之重了，最少有30分的题目出在第二章上面。
第二章与第三章也有部分联系，所以第二章的内容一定要吃透。
1.命题逻辑基本概念
命题：能够判断真假的陈述句。
命题的真值: 判断的结果。
真命题: 真值为真的命题。
假命题: 真值为假的命题。（判断题）
简单命题：简单陈述句构成的命题。
复杂命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题。
注意：简单命题一般是用小写字母p,q,r等表示的。
否定联结词⌝。否定，表示“不”。
合取联结词∧。表示“不但…而且…”。
析取联结词∨。表示“或者”。
注意可以兼取的或者还是不可以兼取的或者之间的区别。
蕴涵联结词→。表示“如果…则…”。
P为真，q为假时，p→q为假，
其他情况p→q恒为真。
等价联结词↔。表示“当且仅当”，“充分必要”。
p,q情况相同时p↔q为真，不同时为假。
联结词的优先顺序为：⌝, ∧, ∨, →, ↔;
真值表：
命题符号化及反向已知命题及合式公式还原合式公式内容：
例子：如果我有时间，我就去逛街，否则我就在家工作。（命题符号化）
命题p：我有时间；命题q：我去逛街；命题r：我在家工作。
原命题符号化为：（p→q）∧（⌝p→r）。
反过来，已知pqr三个命题，求解合式公式（p→q）∧（⌝p→r）的意思也要会。重言式（永真式）：命题无成假赋值。
矛盾式(永假式)：命题无成真赋值。
可满足式：不是矛盾式。
2.命题逻辑等值演算
等值式：若A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式。
等值演算公式：（重点）
双重否定律：⌝⌝A⇔A
等幂律： A∨A⇔A,A∧A⇔A
交换律: A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A
结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)
(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)
分配律: A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)
A∧(B∨C)⇔ (A∧B)∨(A∧C)
德·摩根律: ⌝(A∨B)⇔⌝A∧⌝B
⌝(A∧B)⇔⌝A∨⌝B
吸收律: A∨(A∧B)⇔A,A∧(A∨B)⇔A
零律: A∨1⇔1,A∧0⇔0
同一律: A∨0⇔A,A∧1⇔A
排中律: A∨⌝A⇔1
矛盾律: A∧⌝A⇔0
蕴涵等值式: A→B⇔⌝A∨B
等价等值式: A↔B⇔(A→B)∧(B→A)
假言易位: A→B⇔⌝B→⌝A
等价否定等值式: A↔B⇔⌝A↔⌝B
归谬论: (A→B)∧(A→⌝B) ⇔⌝A
等值演算公式大部分都易于理解，后面5个公式可以直接记忆，不用去考虑推导问题，公式的名字可以不用记忆。
通过等值演算公式可以求出哪些东西？
1.证明两命题等值
2.判断命题类型（重言式或矛盾式）
3.证明命题不等值（通过等值演算公式得到两命题的简化模式，得出两命题成真赋值不一样即可）
3.范式（重点）（每个概念深刻记在脑海里面）
简单析取式：有限个命题构成的析取式。
简单合取式：有限个文字构成的合取式。
析取范式：由有限个简单合取式组成的析取式。
合取范式：由有限个简单析取式组成的合取式。
将范式的模型牢记脑海就能轻松得到范式什么时候是重言式什么时候是矛盾式。
单个命题（文字）既是简单析取式，又是简单合取式。（判断题）
在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式出现且仅出现一次，称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项)。
简单理解：在简单合区式中，每个命题（小写字母）都有且仅有一次（无论是命题还是他的否定形式）的简单合取式是最小项。同理得到最大项。
极小项有唯一的成真赋值，极大项有唯一的成假赋值。将赋值的二进制转化为十进制得到i，将此极小（大）项记为m（M）i
N个命题共有2n个极小（大）项，共可以产生22n种不同的主析（合）取范式。
由最小（大）项组成的析取（合取）范式是主析（合）取范式。
求公式的主合（析）取范式的步骤：
1.将公式中的p→q转化为⌝p∨q, p↔q转化为(p→q)∧(q→p)，否定联结词内移或消去，分配律展开，化成合(析)取范式。形如：A=B1∧B2∧B3….. ∧Bn。
2.若某项Bj不是极小项（极大项）那么必定少了某个命题p,Bj经过以下变换：
求主合时即要得到极大项：Bj=Bj∨0⇔Bj∨(P∧⌝P)⇔(Bj∨P)∧(Bj∨⌝P)
求主析时即要得到极小项：Bj=Bj∧1⇔Bj∧(P∨⌝P)⇔(Bj∧P)∨(Bj∧⌝P)
这样的变换后之前的一项变成了两个极大（小）项。
3.消去公式中重复出现的命题变式。
4.将极小（大）项写成m（M）i格式，按从小到大排序。
例子：
主范式的用途：
1.求公式的成真成假赋值
A的主析取范式中有s个极小项，则A有s个成真赋值，他们是极小项角标的二级制表示，有2n-s个成假赋值。
A的主合取范式中有s个极大项，则A有s个成假赋值，他们是极大项角标的二级制表示，有2n-s个成真赋值。
2.判断公式的类型
A为重言式当且仅当A的主析取范式有2n个极小项。或者当且仅当A的主合取范式为1。（n
为命题个数，即小写字母种类数）
A为矛盾式当且仅当A的合析取范式有2n个极大项。或者当且仅当A的主合取范式为0。
3.判断公式是否等值
当A,B的主析取范式A＇B＇相等时，A⇔B。
4.根据主合取范式求主析取范式（或相反）
主析取范式中未出现的极小项下标就是主合取范式中极大项下标。
主合取范式中未出现的极大项下标就是主析取范式中极小项下标。
4.推理
想要由命题A1,A2,A3….An推到出B当且仅当蕴涵式（A1∧A2∧A3…∧An）→B为重言式。可以得到：（A1∧A2∧A3…∧An）⇒B。
推理定律：（定律都要记住，除了析取三段合构造性两难的特殊形式外其他的都很好理解，定律的名字最好都记住，因为在推理时需要写出定律名字）
置换规则：已知A⇔B可以得到：A⇒B和B⇒A
推理的规则：
以上几条定律规则，还有前提引入规则，结论引入规则，置换规则，附加前提引入定律（如果前提中有p→q则p可以作为前提引入），归谬法（将结论的否定作为前提引入，最终推到矛盾）。
第三章. 一阶逻辑
1.个体词，谓词，量词
个体词：可以存在的具体的或者抽象的客体。1，2，3等等都是个体词
谓词：描述个体性质或者个体之间的关系。如：F(a)：a是人。
量词：存在∃和全部∀。
2.逻辑命题符号化及公式的解释
参考离散数学p69例3.4及p70例3.5（去年真题，公式的解释）
3.个体变项的自由出现及约束出现
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