全国硕士研究生入学统一考试备考资料
2021年全国硕士研究生入学考试数学（一）试题及参考答案
1、函数00,
1,1)(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x
e x
f x ，在0=x 处（）(A)连续且取极大值；(B)连续且取极小值；(C)可导且导数等于零；(D)可导且导数不为零；
2、设函数),(y x f 可微，且,ln 2),(,)1(),1(2
2
2
x x x x f x x e x f x
=+=+则)1,1(df （）(A)dy dx +；(B)dy dx -；
(C)dy ；
(D)dy -；
3、设函数01sin )(2
=+=
x x x x f 在处的3次泰勒多项式为3
2cx bx ax ++，则（）(A)67,0,1-
===c b a ；(B)67,0,1=
==c b a ；(C)6
7,-1,1--===c b a ；(D)6
7,-1,1-=
==c b a ；4、设函数)(x f 在区间[0,1]上连续，则
⎰
1
)(dx x f =（）
(A)n n k f n
k n 21
212(
lim
1
∑
=∞
→-；(B)n
n k f n
k n 1
)212(
lim
1∑
=∞
→-；(C)n
n k f n
k n 1)21(lim
21
∑
=∞
→-；(D)n
n k f n
k n 2)2(
lim
21
∑
=∞
→；
5、二次型2
132********)()()(),,(x x x x x x x x x f --+++=的正惯性指数与负惯性指数依次为()
(A)2,0；
(B)1,1；
(C)2,1；
(D)1,2；
6、已知⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213,121,101321ααα，已知2211331221,1--,-ββαββαβαβl l k ===，若
321,,βββ两两相交，则21,l l 依次为()
(A)
2
1,25；(B)2
1,25-
；(C)
2
1,-25；(D)2
1,-25-
；7、设A ,B 为n 阶实矩阵，下列不成立的是（）
(A)
)(2A O O A
r T A r A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(B)
)
(2A O AB A r T A r =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛(C)
)(2A O BA A r T A r A =⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛(D))(2A BA
O A
r T A r =⎪⎪⎭
⎫
⎝
2021研究生报考⎛8、设A ,B 为随机事件，且1)(0<<B P ，下列命题中不成立的是（）
(A)
)
()(),()(A P B A P A P B A P ==-
则若(B)
)
()(),()(-
-
->>A P B A P A P B A P 则若(C)
)
()(),()(A P B A P B A P B A P >>-
则若(D))
()(),()(B P A P B A A P B A A P >⋃>⋃-
则若
9、设),,(),,,(),,,(2211n n Y X Y X Y X 为来自总体);,;,(2
22121ρσσu u N 的简单随机样本，令
--∧=-=-
-===-=∑∑Y X Y n Y X n X u u n
i i n i i θθ,1,1,1
121，则（）
(A)n
D 2
2
21)(σσθθθ+=
∧
∧
的无偏估计，是(B)n
D 2
2
21)(σσθθθ+=
∧
∧
的无偏估计，不是(C)n
D 212
2
212-)(σρσσσθθθ+=
∧
∧
的无偏估计，是(D)n
D 2
12
2212-)(σρσσσθθθ+=
∧
∧
的无偏估计，不是10、设1621,X X X 是来自总体)4,(μN 的简单随机样本，考虑假设检验问题，
)
(,10:,10:10x H H Φ>≤μμ表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥=-11X W ，其中∑=-=161161i i X X ，其中11.5=μ，该检验犯第二类错误的概率为（）
(A)
(0.5)
-1Φ(B)
(1)
-1Φ(C)
(1.5)-1Φ(D)(2)
-1Φ二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位
置上.
11、
⎰
+∞
++0
2
2
2x x dx
=。
12、设函数)(x y y =由参数方程0
0,)1(4,122
≥<⎩⎨⎧+-=++=x x t e t y t e x t t 确定，则0
2
2=t dx y
d =。
13、欧拉方程04'''2
=-+y xy y x 满足条件2)1(',1)1(==y y 的解为y =
。
14、设∑为空间曲线区域{
}
20,44),,(2
2≤≤≤+z y x z y x 表面分外侧，则曲面积分
zdxdy dzdx y dydz x ++⎰⎰∑
22=。
15、设ij a A =为3阶矩阵，ij A 为代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且3=A ，
312111A A A ++=
。
16、甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令X ,Y ，分别表示从甲盒中和乙盒中取到的红球个数，则X 与
Y 的相关系数为
。三、解答题：17～22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.请将答案写在答题纸指定位置上.
17、(本题满分10分)
求极限⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛--+⎰→x e dt
e x x t x sin 111lim 002。18、(本题满分12分)设),2,1()1()(1
=++
=+-n n n x e
x u n nx
n ，求级数)(1
x u n n ∑∞
=的收敛域及和函数。19、(本题满分12分)
已知曲线⎩⎨
⎧=++=-+,
3024,
62:22z y x z y x C ，求C 上的点xOy 到坐标面距离的最大值。
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