1980年全国统一高考数学试卷（文科）
　
一、解答题（共8小题，满分100分）
1．（8分）化简．
　
2．（10分）解方程组：．
　
3．（10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角．
　
4．（12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？
　
5．（12分）设，化简．
　
6．（16分）（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD．
（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？
　
7．（16分）如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B′D′垂直于E．
（1）证明A′E⊥B′D′；
（2）求AE的长．
　
8．（16分）（1）把参数方程（t为参数）化为直角坐标方程；
（2）当0≤t＜及π≤t＜时，各得到曲线的哪一部分？
　
1980年全国统一高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、解答题（共8小题，满分100分）
1．（8分）化简．
考点：
复数代数形式的乘除运算．
分析：
复数的分母实数化，即分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．
解答：
解：原式==．
点评：
本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题，也是常考题．
　
2．（10分）解方程组：．
考点：
二元一次不定方程；二元一次不等式组．
分析：
采用加减消元法或代入消元法，消z，然后解出x，y再解z．
解答：
解：方程组：，①×3+②可得，
∴解得x=1，y=﹣2，z=3方程组的解为．
点评：
本题是初中知识，解三元一次方程．
　
3．（10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角．
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考点：
两条直线垂直的判定．
专题：
证明题．
分析：
要证PA与PB垂直，即要求出PA的斜率和PB的斜率，把两个斜率相乘得到乘积为﹣1，所以以AB所在的直线为x轴，圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，则得到A、B的坐标，设P（x，y），表示出PA与PB的斜率相乘，把P坐标代入圆的方程化简可得乘积为﹣1即可得证．
解答：
证明：将圆的直径AB所在的直线取为X轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是x2+y2=1．
A、B的坐标是A（﹣1，0）、B（1，0）．
设P（x，y）是圆上任一点，则有y2=1﹣x2．
∵PA的斜率为，PB的斜率为，
∴
∴PA⊥PB，∠APB为直角．
点评：
此题为一道证明题，要求学生掌握两直线垂直的条件为斜率乘积为﹣1，会利用解析的方法证明数学问题．
　
4．（12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？
考点：
数列的应用．
专题：
应用题．
分析：
设1980的轻工业产值比上一年增长x%，由题意，解此方程可得答案．
解答：
解：设1979年的工业总产值为a，又设1980的轻工业产值比上一年增长x%，
则按题意，1980年的轻工业产值为；
解得：x=32．
答：1980年轻工业产值应比上一年增长32%．
点评：
本题考查数列的性质及其应用，解题时要认真审题，寻数量间的相互关系，建立合理的方程．
　
5．（12分）设，化简．
考点：
诱导公式一；同角三角函数基本关系的运用．
专题：
计算题．
分析：
利用诱导公式化简分式的分子，注意θ的范围然后求解即可．
解答：
解：原式=
=．
∵，
∴π＜θ+，
∴sin（θ+）＜0，
∴原式=﹣1．
点评：
本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系的应用，考查学生的运算能力，是基础题．
　
6．（16分）（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD．
（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？
考点：
相似三角形的性质；四种命题．
专题：
综合题．
分析：
（1）证明BD被AC平分，即证明OB=OD，结合同底等高的三角形面积相等这一性质，不难想到要证明线段相等，可以证明线段所在的三角形全等．
（2）将（1）的思路进行倒推，不难解决本小题．
解答：
解：（1）证：S△ABC=S△ADC′
且△ABC与△ADC有同底AC，
∴两高线相等：BE=DF
设AC与BD交于点O，
则Rt△BOE≌Rt△DOF，∴OB=OD，即AC平分BD．
（2）逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，
则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形这个逆命题是正确的．
证明如下：在图中，由于OB=OD，∠BOE=∠DOF
，∠BEO=∠DFO=Rt∠，∴△BOE≌△DOF．
∴BE=DF，即两高线相等．∴S△ABC=AC•BE=AC•DF=S△ADC'．
点评：
证明线段相等是平面几何常见题型，常用的方法有：利用平行线等分线段定理、等腰三角形的性质、全等三角形对边相等、平行四边形对角线互相平分等，同学们要注意平时多进行总结．
　
7．（16分）如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B′D′垂直于E．
（1）证明A′E⊥B′D′；
（2）求AE的长．
考点：
棱锥的结构特征．
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）先由AA'⊥平面A'B'C'D'，可转化为AA'⊥B'D'，又AE⊥B'D'，由线面垂直的判断定理可得B'D'⊥平面AA'E，得证．
（2）先由等面积法A'B'•A'D'=A'E•B'D'求得A'E，再由勾股定理求得AE．
解答：
（1）证明：AA'⊥平面A'B'C'D'，∴AA'⊥B'D'．
又AE⊥B'D'，∴B'D'⊥平面AA'E，
因此B'D'⊥A'E
（2）解：A'B'•A'D'=A'E•B'D'（都是△A'B'D'面积的2倍）
∴6×8=A'E×，
∴A'E=4.8
∴AE=．
点评：
本题主要考查长方体的结构特征，主要涉及了线线，线面，面面垂直的关系，以及基本量的关系．属中档题．
　
8．（16分）（1）把参数方程（t为参数）化为直角坐标方程；
（2）当0≤t＜及π≤t＜时，各得到曲线的哪一部分？
考点：
参数方程化成普通方程．
专题：
计算题．
分析：
（1）先利用公式sec2t=1+tg2t，将参数t消去，即可得到曲线的直角坐标普通方程；
（2）根据t的范围求出x与y的取值范围，结合图象可得到的是曲线的哪一部分．
解答：
解：（1）利用公式sec2t=1+tg2t，得．
∴曲线的直角坐标普通方程为．
（2）当时，x≥1，y≥0，得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）；
当时，x≤﹣1，y≥0，得到的是曲线在第二象限的部分，（包括（﹣1，0）点）．
点评：
本题主要考查了双曲线的参数方程化成直角坐标方程，以及数形集合的数学思想，属于基础题．