2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅰ）
第Ⅰ卷
参考公式：
    如果事件互斥，那么                        球的表面积公式
                               
    如果事件相互独立，那么                    其中表示球的半径
                            球的体积公式
    如果事件在一次试验中发生的概率是，那么       
    次独立重复试验中恰好发生次的概率            其中表示球的半径
一、选择题
1．函数的定义域为（    ） 
A．                B．
C．            D．
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（    ）
3．在中，，．若点满足，则（    ）
A．            B．            C．            D．
4．设，且为正实数，则（    ）
A．2        B．1        C．0        D．
5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（    ）
A．138        B．135        C．95        D．23
6．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（    ）
A．        B．        C．        D．
7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ）
A．2        B．        C．        D．
8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）
A．向左平移个长度单位            B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位        D．向右平移个长度单位
9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）
A．            B．
C．        D．
10．若直线通过点，则（    ）
A．        B．        C．        D．
11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（    ）
A．        B．        C．        D．
12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（    ）
A．96        B．84        C．60        D．48
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．13．若满足约束条件则的最大值为          ．
14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为            ．
15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率          ．
16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于          ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设的内角所对的边长分别为，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
18．（本小题满分12分）
四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．
19．（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
21．（本小题满分12分）
双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（本小题满分12分）
设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数．证明：．
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）
答案与解析：
1.C. 由得；
2.A.根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图象可知.
3. A.,
4. D
5.C．
6. B.
7. D.,
8.A．，只需将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.
9.D．由奇函数可知，而，则，当时，；当时，，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，.
10.D．由题意知直线与圆有交点，则.
另解：设向量，由题意知
由可得
11.C．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.
另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为
长度均为，平面的法向量为,
则与底面所成角的正弦值为.
12.B.分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；种四种花有种种法.共有.
另解：按顺序种花，可分同与不同有
13.答案：9．如图，作出可行域，
作出直线，将平移至过点处
时，函数有最大值9.
14. 答案：2.由抛物线的焦点坐标为
为坐标原点得，，则
与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为
15.答案：.设，则
，.
16.答案：.设，作
，则，为二面角的平面角
，结合等边三角形
与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则
,
故所成角的余弦值
另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
则点,
,
则,
故所成角的余弦值.
17.解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理及
可得
即，则；
（Ⅱ）由得
当且仅当时，等号成立，
故当时，的最大值为.
18．解：（1）取中点，连接交于点，
， ，
又面面， 面，
．
，
，，即，
面，．
（2）在面内过点作的垂线，垂足为．
，，面，，
则即为所求二面角的平面角．
，，，
，则，
，即二面角的大小．
19. 解：（1）求导：
高考试题网当时，，，在上递增
当，求得两根为
即在递增，递减，
递增
（2），且解得：
20．解：（Ⅰ）对于甲：
次数
1
2
3
4
5
概率
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
对于乙：
次数
2
3
4
概率
0.4
0.4
0.2
．
（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为．
21. 解：（Ⅰ）设，，
由勾股定理可得：
得：，，
由倍角公式，解得,则离心率．
（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立
将，代入，化简有
将数值代入，有,解得
故所求得双曲线方程为：．
22. 设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数．证明：．
22.解析：（Ⅰ）证明：, ,当时，
故函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当时，，
由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；
（ⅱ）假设当时，成立，即
那么当时，由在区间是增函数，得
.而，则，
，也就是说当时，也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.
（Ⅲ）证明：由．可得
1， 若存在某满足，则由⑵知：
2， 若对任意都有，则
，即成立.