2021年四川省高考理科数学试题及答案
数学（理工类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A
Z 中元素的个数是 （A ）3（B ）4（C ）5（D ）6
2.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为
（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 4
3.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 （A ）向左平行移动
π3个单位长度（B ）向右平行移动π3
个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A ）24（B ）48（C ）60（D ）72
5.某公司为鼓舞创新，打算逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）
（ A ）2020年（B ）2021年（C ）2020年（D ）2021年
6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为
（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35
7.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩
则p 是q 的
（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2
2(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为 （A ）33（B ）23
（C ）22（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,
x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范畴是
四川高考报名系统登录入口（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)
10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2
BM 的最大值是 （A ）434（B ）494
（C ）37634+（D ）372334+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
=. 12.同时抛掷两枚质地平均的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是.
13.已知三棱镜的四个面差不多上腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是。
14.已知函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f （x ）=，则f （
）+ f （1）=。15．在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“相伴点”为'2222(,)y x P x y x y
-++； 当P 是原点时，定义P 的“相伴点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“相伴点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“相伴曲线”.现有下列命题：
①若点A 的“相伴点”是点'A ，则点'A 的“相伴点”是点A
②单位圆的“相伴曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“相伴曲线”'C 关于y 轴对称；
④一条直线的“相伴曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
我国是世界上严峻缺水的国家，某市政府为了鼓舞居民节约用水，打算调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情形，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I ）求直方图中a 的值；
（II ）设该市有30万居民，估量全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III ）若该市政府期望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估量x 的值，并说明理由.
17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，且
cos cos sin A B C a b c +=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；
（II ）若22265
b c a bc +-=，求tan B . 18.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=
12AD.E 为边AD 的中点，异
面直线PA 与CD 所成的角为90°.
（I ）在平面PAB 内一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+，其中q>0，*n N ∈.
（I ）若2322,,2a a a +成等差数列，求a n 的通项公式；
(ii)设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.
20.（本小题满分13分）
已知椭圆E ：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l :y =-x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T .
（I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（II ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得∣PT ∣2=λ∣P A ∣·∣PB ∣，并求λ的值.
21.（本小题满分14分）
设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.
（I ）讨论f (x )的单调性；
（II ）确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞-e 1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
2021年一般高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工类）试题参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．D 4．D 5．B
6．B 7．A 8．C 9．A 10．B
二、填空题
11 12．32
13 14．–2 15．②③ 三、解答题
16．（本小题满分12分）
（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．
由0.04+0.08+0.5×a +0.20+0.26+0.5×a +0.06+0.04+0.02=1，
解得a =0.30．
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，能够估量全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12=36 000．
（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
因此2.5≤x <3．
由0.3×(x –2.5)=0.85–0.73，
解得x =2.9．
因此，估量月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
17．（本小题满分12分） （Ⅰ）依照正弦定理，可设sin a A =sin b B =sin c C
=k (k >0)． 则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ．
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