郴州市2023届高三第三次教学质量监测试卷
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
4.考试时间为120分钟，满分为150分.
5.本试题卷共5页.如缺页，考生须声明，否则后果自负.
一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的）
1.若1i
2i
z +=-（其中i 为虚数单位），则Z 在复平面上所对应的点在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知集合{}
()()ln 30,{230}M x x x N x x x =-==+-<∣∣，则M N ⋂=（
）
A.
{}
0,4  B.
{}
0,2  C.
{}
2,4  D.
{}
0,2,43.已知函数()(
)
*
ln N
f x nx x n =+∈的图象在点1
1,f n n ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线的斜率为n a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭内蒙古银行招聘网最新招聘信息网
的前n 项和n S 为（）
A.
11
n +  B.
()()235212n n n n +++  C.
()41n n +  D.
()()
235812n n n n +++4.篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（）
A.
1564
B.
932
C.
山东省综合素质评价平台登录入口2764
D.
3364
5.已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为300,AB π为圆台的一条母线（点
B 在圆台的上底面圆周上），M 为
AB 的中点，一只蚂蚁从点B 出发，绕圆台侧面一周爬行
到点M ，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（）
A.30
B.40
C.50
D.60
6.设642
,log 5,log 33
a b c =
==，则,,a b c 的大小关系为（）
A.a b c >>
B.a c b >>
C.c b a
>>  D.b c a
>>7.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ，过1F 作直线与椭圆相交于
,A B 两点，若112AF BF =且2BF AB =，则椭圆的C 的离心率为（
）  A.
1
3
B.
14
C.
33  D.
63
8.已知函数()1
11πe
e cos 32x x
f x x --⎛⎫2022年江苏一本投档线
=-+ ⎪⎝⎭
，实数,m n 满足不等式公务员等级和职位一览表图
()()210f m n f m -++<，则下列不等式成立的是（
）
A.31m n -<
B.31m n ->
C.1
m n -<  D.1
m n ->二､多项选择题（本题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.给出下列命题，其中正确的是（
）
A.对于独立性检验2K 的值越大，说明两事件相关程度越大.
B.若随机变量(
)()2
1,,40.75N P ξσ
ξ~≤=，则()20.25
P ξ≤-=C.若19,3X B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，则()218
D X +=D.已知样本点()(),1,2,310i i x y i = 组成一个样本，得到回归直线方程ˆ20.4y
x =-，且2x =，剔除两个样本点()3,1-和()3,1-得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归方程为ˆ33y
x =-
10.已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为P ，下列说法正确的是（）
A.若2
2AF BF p =，则直线AB 的倾斜角为π
4
B .234
OA OB p ⋅=-        C.若抛物线上存在一点(),3E
t ，到焦点F 的距离等于4，则抛物线的方程为24x y
=D.若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为13
11.设函数()sin (0)g x x ωω=>向左平移
π
5ω
个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（
）
A.()f x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称  B.()f x 在()0,2π上有且只有5个极值点
C.()f x 在π0,
10⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增  D.
ω的取值范围是1229,510⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
12.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，
122CC AB ==，E 为1CC 的中点，P 为棱1AA 上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则（）
A.平面α⊥平面11A B E
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B.平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形
C.当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为11
π8
D.存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为
π3
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若2
23212()(0)x x m m x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭
的展开式中3x 的系数为3，则m =__________.14.已知点()1,2M ，若过点()3,0N 的直线m 交圆22:(5)6C x y -+=于,A B 两点，则
MA MB +
的最小值为__________.
15.已知三棱锥-P ABC 的棱长均为4，先在三棱锥-P ABC 内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥-P ABC 的三个侧面都相切，则球2O 的表面积为__________.
16.设实数0m >，若对任意的21,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭
，不等式ln 1e e mx mx
x m m mx -≥-郴州人力资源考试网
恒成立，则实数m 的取值范围为__________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
()()cos cos 2cos cos 0
a C c A a C c A C ⋅+⋅-⋅-⋅+=（1）求角C .
（2）ACB ∠的角平分线交AB 于点D ，且1CD =，求3a b +的最小值.
18.如图，在三棱锥-P ABC 中，侧面PAC ⊥底面,,ABC AC BC PAC ⊥是边长为2的正三角形，4,,=BC E F 分别是,PC PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线l .
（1）证明：直线l ⊥平面PAC
.
（2）若Q 在直线l 上且BAQ ∠为锐角，当P AEFQ P ABC V V --=时，求二面角A PQ B --的余弦值.
19.“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n 期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n 期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为A ，每期利率为r ，期数为n ，到期末的本利和为S ，则(1)n S A r =+其中，S 称为n 期末的终值，A 称为n 期后终值S 的现值，即n 期后的S 元现在的价值为(1)
n S
A r =
+.现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案方案一：一次性付全款25万元；
方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；
（1）已知一年期存款的年利率为2.5%，试讨论两种方案哪一种更好？
（2）若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）
参考数据：10(1  2.5%)  1.28
+≈20.已知椭圆方程为22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>，过椭圆的1C 的焦点12,F F 分别做x 轴的垂
线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.（1）求该椭圆1C 的离心率.
（2）若椭圆1C 的顶点恰好是双曲线2C 焦点，椭圆1C 的焦点恰好是双曲线2C 顶点，设椭圆1C 的焦点12,F F ，双曲线2C 的焦点12
,,F F A ''为1C 与2C 的一个公共点，记12F AF ∠α=，
12F AF ∠β''=，求cos cos αβ⋅的值.