第6章商品间的需求关系
1．对中国的家庭来说，住房和食物都是最重要的消费品。假定一个代表性中国家庭仅仅消费x和y这两种物品，其中x是住房，y是食物。其效用函数如下式表示：U（x，y）＝U1（x）＋U2（y），其中U i′＞0，U i″＜0，i＝1，2。U1和U2可以不同。请解释：（1）这个效用函数的性质是什么？该性质和U x,y有何关联？其经济含义是什么？
（2）证明：该效用函数下，每种物品都不可能是低档物品。
（3）该效用函数下，x和y是总替代品或者总互补品吗？为什么？（中国人民大学2012研）
答：（1）该效用函数具有递增性，同时边际效用递减。对于x、y来说，总效用具有可加性，两种商品具有独立的边际效用，即∂2U/（∂y∂x）＝∂2U/（∂x∂y）＝0。其经济学含义是指，每增加一单位x（y）商品的消费所引起的效用增加量与y（x）的消费数量无关。
（2）低档物品是指需求量与消费者的收入水平反方向变化的物品。假设x是低档物品，x和y价格不变，那么当收入增加时，x的需求量必然减少，相应的，y的需求量增加。由消费者效用最大化可知，收入提
高前：MU x/MU y＝P x/P y。当收入提高后，同样有MU x′/MU y′＝P x/P y，而由U i″＜0知，x与y的边际效用递减，因此有MU x′＞MU x，MU y′＜MU y，这与效用最大化的条件MU x/MU y＝P x/P y＝MU x′/MU y′矛盾。所以，x不可能是低档物品。同理，y也不可能是低档物品。
（3）在该效用函数下，不能确定x和y是总替代品还是总互补品。原因在于：从给出的效用来看，两种商品具有独立的边际效用，一种商品价格的变化对另一种商品需求量的影响不确定。
2．判断对错并简要说明理由。x1和x2是一个消费者消费的两种物品，如果∂x1/∂p2＞0，就说x1是x2的替代品；如果x1是x2的替代品，则x2也是x1的替代品。
答：（1）先考虑净替代的情况：前半句是错误的，而后半句是正确的，理由如下：两个商品之间的替代关系通过净替代效应的正负来决定，商品1的希克斯需求函数x1关于商品2的价格p2求偏导数，如果正，则替代；如果负，则为互补。由马歇尔需求函数求偏导得出的是总替代和总互补关系，即使总替代关系为正，由于未剔除收入效应，仍有可能净替代效应为负，从而两种商品互补，因此该命题前半句错误。大学英语四六级报名报名入口
对一个消费两种商品的消费者而言，其希克斯需求函数有如下性质∂h1/∂p2＝∂h2/∂p1，所以，如果x1是x2的替代品，即∂h1/∂p2＞0，那么∂h2/∂p1＞0，即x2也是x1的替代品。
（2）再考虑总替代的情况，前半句是正确的，而后半句是错误的，理由如下：
由马歇尔需求函数求偏导得出的是总替代和总互补关系，∂x1/∂p2＞0，可知总替代关系为正，两种商品为替代品。但考虑总替代品时，则不存在净替代效应的对称关系。例如，拟线性效用函数u＝lnx1＋x2，可知马歇尔需求函数为x1＝p2/p1，x2＝（m－p2）/p2。检验可知∂x1/∂p2＞0，商品1是商品2的替代品；而∂x2/∂p1＝0，商品2不是商品1的替代品，也就是说总替代关系不一定是对称的。
航空招聘网3．（1）在两维商品空间里，在完全互补的两种商品中，会出现一种劣质品吗？为什么？
（2）在两维商品空间里，在完全互替的两种商品中，会出现一种劣质品吗？为什么？
答：（1）不会。理由如下：可以用反证法证明。
假设商品1是劣等品，完全互补的效用函数形式为：u（x1，x2）＝min{ax1，bx2}（a，
b＞0）。申论试题类型
由完全互补效用函数性质可知，最优解为x1＝（b/a）·x2。
如果商品1是劣等品，则有：∂x1/∂y＜0，从而∂x2/∂y＝（a/b）·（∂x1/∂y）＜0。
又x1、x2满足p1x1＋p2x2＝y，两边对y求导得：p1∂x1/∂y＋p2∂x2/∂y＝1。
而可知∂x1/∂y＜0，∂x2/∂y＜0，因此，等式不可能成立。
所示，在完全互补的两种商品中，不可能存在一种商品为劣等品。
（2）不会。假定完全互替的效用函数形式为u（x1，x2）＝ax1＋bx2，预算线方程为p1x1＋p2x2＝y。
①当a/b＜p1/p2时，消费者会全部选择消费商品x2，则x2＝y/p2，x1＝0。有∂x1/∂y ＝0，∂x2/∂y＝1/p2＞0，此时不存在劣等品。
②当a/b＞p1/p2时，消费者会全部选择消费商品x1，则x1＝y/p1，x2＝0。有∂x2/∂y ＝0，∂x1/∂y＝1/p1＞0，此时也不存在劣等品。
③当a/b＝p1/p2时，消费者可以按任意比例消费商品1和2，当收入y增加时，消费量也按比例增加。因此，有∂x1/∂y＞0，∂x2/∂y＞0，此时也不存在劣等品。
综上所述，在两维商品空间里，在完全互替的两种商品中，不会出现一种劣质品。
4．假设某人消费x1，x2，x3三种商品。x2与x3是同类商品（如贵贱不同的饭店用餐），并且p2＝kp3（k＜1），商品价格间的比例关系不变。
（1）说明：x2与x3可视为一种组合商品。
（2）假设每一单位x2与x3都具有一个交易成本t。这种交易成本将怎样影响x2与x3价格的关系？这种影响将怎样随t的不同而变化？
（3）你能确定t的收入补偿性增长是如何影响在组合商品x2与x3上的支出的？组合
商品定理是否严格地适用于此例？2022福字图片大全
（4）在t上的收入补偿性增长是如何影响在组合商品上的总支出用于分配给x2与x3之间的比例的？
解：（1）因为x2与x3是同类商品，并且p2＝kp3（k＜1），所以x2与x3可以视为：p2x2＋p3x3＝p3（kx2＋x3）的组合商品。
（2）如果每一单位x2与x3都具有一个交易成本t，则商品x2与x3之间的相对价格为：（p2＋t）/（p3＋t）＝（kp3＋t）/（p3＋t）
如果t＝0，则相对价格小于1；如果t→∞，则相对价格将趋于1。因此，t的增加将提高商品x2的相对价格。
南京比较好考研的大学（3）t的增加将会减少用于组合商品的支出。组合商品定理在此不能直接适用，因为（2）中已经表明t的变化会影响相对价格。
（4）t增加将会导致用于x2的相对支出的减少量大于用于x3的相对支出的减少量，这是因为t的增加提高了商品x2的相对价格。
5．产品X的需求函数给定为P X＝25－0.005Q＋0.15P Y，其中P X代表产品X的单位价格，Q代表每星期的销售数量，P Y代表另一产品Y的单位价格。产品X的供给函数给定为：P X＝5＋0.004Q。
（1）设P Y＝10，计算X的均衡数量和均衡价格。
（2）X与Y是相互替代还是相互补充？
解：（1）令需求和供给相等有：25－0.005Q＋0.15×10＝5＋0.004Q，解得Q＝2388.9，把它代入产品X的需求曲线，就有：P X＝25－0.005×2388.9＋0.15×10＝14.56。
（2）可求出X的需求函数为Q＝（25＋0.15P Y－P X）/0.005，由此易见Q和P Y的关
系：当其他条件保持不变时，这两个变量同向变动，说明X和Y是相互替代的。
朝阳市人力资源招聘网
6．证明完全替代是相似偏好的一个特例。
证明：如果两种商品1和2之间可以按照固定的比例替代，就说商品1是2的完全替代品（或者说商品2是1的完全替代品）。相似偏好是指如果消费者对（x1，x2）的偏好甚于（y1，y2），则对任意的t＞0，该消费者对（tx1，tx2）的偏好甚于（ty1，ty2）。
下面来证明完全替代是相似偏好的一个特例。u（x1，x2）＝x1＋x2（假设替代比例为1∶1），如果u（x1，x2）＞u（y1，y2），那么有x1＋x2＞y1＋y2。因此对于任何的正值t，都会有tx1＋tx2＞ty1＋ty2，可得u（tx1，tx2）＞u（ty1，ty2），所以完全替代是相似偏好的一个特例。