试题编号：311 试题名称：高等数学
注意：答题一律答在答题纸上，答在草稿纸或试卷上一律无效
一．选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1．曲线2y x =和2x y =围成的面积为（ ）
（A ）
12
（B ）
13
（C ）
14
（D ）
15
2．设23()x
f x e -=，则当0x →时，有（ ）
（A ）()f x 是x 的高阶无穷小； （B ）()f x 是x 的较低阶无穷小； （C ）()f x 是x 的等价无穷小； （D ）()f x 是x 的同阶而非等价无穷小。
3．下列广义积分收敛的是（ ）
（A ）2
110dx x
⎰
（B ） 1ln dx e
x x
+∞⎰
（C ） 30x
x e dx -∞
⎰
一建报名条件（D ）2
1
1
01dx x
-⎰
。
4．设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 取得极小值，则下列结论正确的是 （ ）
（A ）0(,)f x y 在0x x =处导数等于零； （B ）0(,)f x y 在0x x =处导数大于零； （C ）0(,)f x y 在0x x =处导数小于零； （D ）0(,)f x y 在0x x =处导数不存在。
5．交换积分次序1
11
42210
4
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx +
=⎰⎰
⎰
⎰ （ ）
（A ）2
1
40(,)x x
新贵州人事考试信息网dx f x y dy ⎰⎰
（B ）2
1
20(,)x x
dx f x y dy ⎰⎰
（C ）2
1
40
(,)x x
dx f x y dy ⎰⎰
（D ）2
12
(,)x x
dx f x y dy ⎰⎰
6．设,m s s n A B ⨯⨯，要使0A B X =与0B X =是同解方程组的一个充分条件是 （ ）
（A ） ()R B n =；（B ）()R B s =；（C ） ()R A m =；（D ） ()R A s =。
7．设,A B 为同阶正定阵，则下列结论中不正确的是 （ ）
（A ） 0A B +>； （B ） 00
A B ⎛⎫
⎪⎝⎭
可相似于对角阵；
（C ） A B 为正定阵； （D ） 存在矩阵,G H 使22
,G A H B -==。
49
； (B)
58
； (C)
59
; (D)
712
。
9．已知随机变量X 服从二项分布，且 2.4, 1.44EX DX ==，则二项分布的参数,n p 的 值为（ ） （A ）n =4,p =0.6； (B) n =6, p =0.4； (C) n =8, p =0.3； (D) n =24, p =0.1。 10．设随机变量X
的概率密度函数为2
21
()x x f x -+-=，则随机变量X 的数学期望和方差
分别为（ ）
(A) E X =1,D X =1； (B) E X =1, D X 不存在；
(C) E X =12
,D X =1； (D) E X =1, D X =
12
二．填空题（每小题 4 分，共 24 分）
11．求极限1
1
sin
lim
(1)
n
n n n n n -→∞
=- 。
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12．设方程0z
e z xy ++=，则
2
z x y
∂=∂∂ 。
13．求微分方程8160y y y '''-+=的通解 。 14．四阶方阵,A B 按列分块()()123123,,,,,3,4,,A B ααααβααα==-若1,2,A A B =-=则B = 。
15．设方阵A 满足3
0A A -=，则当C 取 值时A C I +可逆。 16．设,A B 为随机事件，()0.7,()0.6P A P AB ==，则()P A B -= 。
三．解答题（本题共 10小题，满分 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分6分）设直线y x =与对数曲线log a y x = 相切，求a 18．（本题满分8分）
设22
2ln(1)
,0()1,012sin ,00x x x f x x x tdt x x
⎧+<⎪⎪⎪
==⎨⎪
⎪>⎪⎩⎰，试讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性。
19．（本题满分7分）已知连续函数()f x 满足条件230
()()2
x x
t f x f dt e -=+⎰
，求()f x 。 20．（本题满分8分） 设,a b 均是大于1的常数，且
111a
b
+
=，证明对于任意0x >
有
11a
x x a b
+
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21．（本题满分6分）
计算二重积分D
x y dxdy -⎰⎰，D 是由直线0,1,0,1x x y y ====所围成的平面区域。
22．（本题满分8分）
若()f x 在区间[0,1]上二阶可导，1
(03
f =且1
13
(1)3()f xf x dx '=⎰，证明：存在(0,1)
ξ∈使()0f ξ'=。 23．（本题满分9分）
构作一个非齐次线性方程组A X b =，使(1,0,
1,2)T
η=-是它的一个特解，
12(1,2,1,0),(0,2,1,1)T T
αα=-=-是它的导出组0A X =的一基础解系。
24．（本题满分12分）
设二次型222
123
12132322f x ax x bx x x x x x =+++++经正交线性变换1
12
23
3x y x T y x y ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
化成了标准形22234f y y =+，求,a b 之值及矩阵T ；并在222
南京比较好考研的大学1231x x x ++=条件下，求函数f
的极值。
25.(本题满分10分)
设随机变量X 的绝对值不大于1；11{1},{1};4
4
P X P X =-=
==
在事件{-1<X <1}出
现的条件下，X 在(-1,1)内在任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求： （1）X 的分布函数(){}F x P X x =≤ （2）X 取负值的概率p 。 26．(本题满分12分)福建社区
设连续性随机变量X 的分布函数为
,0()(0,)0,0m
x A Be
x F x m x σσ⎛⎫- ⎪
⎝⎭
⎧⎪+>=>⎨⎪≤⎩
其中为正整数 求 （1）A 和B 的值;
(2) X 概率密度函数f(x);
(3)1m
X Y λσ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的概率密度函数()Y f y （其中λ>0）
。
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