北大计算机考研 高等数学真题解答
2008年（5题60分）
1 （12分）有连续的二阶导数，，求。
2 （12分）在上连续且，，证明：在上必有一点使得。
3 （12分）求不定积分。
4 （12分）且，有连续的导数，求。
5 （12分）在附近可导且导数大于0，证明无穷级数发散，无穷级数收敛。
2007年（5题60分）
1 （12分）求不定积分。
解：
。
2 （12分）求连续函数，使它满足。
解：令则时，，时，，；
。
考研计算机真题
3 （12分）设。
证明：初学者如何学会计和都存在并相等。
解：
；
2021全国两会召开时间和结束时间
单调递减；
单调递增；
由以上两结论可知：
有下界，于是存在；
有上界，于是存在。
令，由有：
解得，所以。
4 （12分）求和。
解：（1） 若，；
（2） 若，
。
5 （12分）求极限。
。
2006年（5题60分）
1 （12分）计算积分。
解：
。
2 （12分）求。
解：时，；时，，2023年河南省考公务员；
时，，；所以：
。
3 （12分）设，证明不等式。
证：时，
令，有；则，有；
，所以上单调递增，又，
所以，可知上单调递增，又，
所以，即。
4 （12分）求幂级数的收敛域与和函数。
解：求收敛半径：，当时级数收敛，当时级数发散，所以收敛半径。
当时，显然发散，所以收敛域。
求和函数：；
；
所以：四六级成绩查询网址入口；
。
5 （12分）设连续，在处可导，且。
求。
解：令；
2005年（7题70分）
1 （8分）求。
解：
2 （10分）设，求。
解：等式两边对求导得：
，
化简得（是确定的隐函数）；
再次对求导得，将代入得：（是确定的隐函数）。
3 （8分×2）求下列不定积分：
（1） ；
（2） 。
解：（1）
。
（2）
4 （8分）求，其中n为自然数。
解：令，则，；
。
5 （8分）若，试证：。
证：时，。
时，由拉格朗日中值定理易知：，使得：
；
显然是单调递增函数，故，
即，所以有。
6 （10分）求。
解：令。则
7 （10分）设曲线上的非负连续函数，表示由所围成的图形绕直线旋转而成的旋转体的体积。试证明：。
证：取轴为积分坐标，的变化范围为。轴上中级经济师考试对应的一小段旋转柱体可近似展开成矩形薄板，宽为点绕直线旋转得到的圆周长，高为，厚为，故。