2021年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试(天津卷)(数学)
第I 卷
参考公式：
•如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()() ()P AB P A P B =．•球的体积公式33
1V R p =，其中R 表示球的半径．
•圆锥的体积公式1
3V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2022年初级会计考试时间安排1．设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C =I U （）
A ．{}0
B ．{0,1,3,5}
C ．{0,1,2,4}
D ．{0,2,3,4}2．已知a ÎR ，则“6a >”是“236a >”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不允分也不必要条件3．函数2ln ||
2
x y x =
+的图像大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),,[94,98]L ，并整理得到如下的费率分布直方图，则
评分在区间[)8286，内的影视作品数量是（
高考真题及答案）
A ．20
B ．40
C ．64
D ．805．设0.3212
log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．b c a <<
D ．a c b <<6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323
p
，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）医生24小时免费
A ．3p
B ．4p
C ．9p
D ．12p 7．若2510a b ==，则
11
a b
+=（）
A ．1-
B ．lg 7
C ．1
D ．7log 10
8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，
抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲钱的渐近线于C 、D 两点，若
|CD AB =．则双曲线的离心率为（
）
A      B        C ．2      D ．3
9．设a ÎR ，函数22
cos(22).
()2(1)5,x a x a f x x a x a x a p p -<ì=í-+++³î
，若()f x 在区间(0,)+¥内恰有6个专点，则a 的取值范围是（）
A ．95112,,424æùæù
Èççúúèûèû      B ．
5711,2,424æöæö
Èç÷ç÷èøèø
C ．9112,,344æùéöÈç÷úêèûëø
农村信用社登录入口D ．11 ,2,3447æöéöÈç÷÷êèøëø
.
2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第II 卷
注意事项
1．用黑墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．i 是虚数单位，复数
922i
i
+=+_____________．11．在6
312x x æ
ö+ç÷è
ø的展开式中，6x 的系数是__________．
12．若斜率为的直线与y 轴交于点A ，与圆22(1)1x y +-=相切于点B ，则||AB =____________．
13．若0 , 0a b >>，则
2
1a b a
b ++的最小值为____________．14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为
56和1
5
，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
15．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ^且交AB 于
点E ．//DF AB 且交AC 于点F ，则|2|BE DF +u u u r u u u r 的值为____________；()DE DF DA +×u u u r u u u r u u u r
的最小值为____________．
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．
16．（本小题满分14分）
在ABC V ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2:1:A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；
（III ）求sin 26C p æ
ö-ç÷è
ø的值．
17．（本小题满分15分）
如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．
（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；
（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正正弦值．（III ）求二面角11A A C E --的正弦值．18．（本小题满分15分）
已知椭圆22221(0)y a b a b x +=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率
为5，
且
菏泽公务员考试网入口||BF =（I ）求椭圆的方程；
（II ）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．19．（本小题满分15分）
已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=
．
（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1
,n n n
c b b n N =+
Î.（i ）证明{}2
2n
n c c -是等比数列；（ii
）证明)*n
k n N =<Î20．（本小恩满分16分）已知0a >，函数()x f x ax xe =-．
（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点
（III ）若存在a ，使得()f x a b £+对任意x ÎR 成立，求实数b 的取值范围．
答案及解析
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ÇÈ=（）
A.
计算机考试考什么{}
0  B.{0,1,3,5}  C.{0,1,2,4}
D.
{0,2,3,4}
【答案】C 【解析】
【分析】根据交集并集的定义即可求出.
【详解】Q {}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，
{}1A B \Ç=，{}()0,1,2,4A B C ÇÈ=\.
故选：C.
2.已知a ÎR ，则“6a >”是“236a >”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不允分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性
成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.3.函数2ln ||
2
x y x =
+的图像大致为（）