2023年重庆高考数学真题及参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（
）．
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
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2.设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．
A.2
B.1
C.
23
招聘面试的基本流程D.1
-3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．
A .
4515
400200C C ⋅种
B.2040
400200C C ⋅种
C .
天津考教师资格证需要什么条件
3030
400200C C ⋅种
D.4020
400200C C ⋅种
4.若()()21
ln 21
x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．
A.1
-  B.0
C.
12
D.1
5.已知椭圆2
2:13
x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B
两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．
A.
23
B.
3
C.23
-
D.2
3
-6.已知函数()e ln x
f x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．
A.2
e    B.e
C.1e -
D.2
e -7.已知α为锐角，15
cos 4
α+=
，则sin 2α=（
）．
A.
358
B.
15
8
-  C.
354
-  D.
154
-+8.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）．A.120
B.85
C.85
-  D.120
-
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则（）．
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为
C.AC =
D.PAC △的
10.设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2
:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．
A
高考真题及答案
.
2
p =  B.8
3
MN =C.以MN 为直径的圆与l 相切  D.
OMN 为等腰三角形
11.若函数()()2
ln 0b c
f x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）．
A.0
bc >  B.0
ab >  C.280
b a
c +>  D.0
ac <12.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23
(1)(1)βββ-+-D.当00.5α<<；时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a  ，b
满足a b -=  ，2a b a b +=-    ，则b = ______．
14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．15.已知直线:10l x my -+=与()2
2:14C x y -+=交于A ，
B 两点，写出满足“AB
C 面积为
8
5
”的m 的一个值______．16.已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线1
2
y =与曲线()y f x =的两个交点，若π
6
AB =
，则()πf =______
．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC ∆
的面积为，D 为BC 中点，且1AD =．（1）若π
3
ADC ∠=
，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c ．18.
{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧=⎨
⎩为奇数为偶数
，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n
项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >．
19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为
()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，
以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；
（2）设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在
区间[]95,105的最小值．
20.如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ∠=∠= ，E 为BC 的中点．
（1）证明：BC DA ⊥；
（2）点F 满足EF DA =
，求二面角D AB F --的正弦值．
21.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()
-
（1）求C 的方程；
（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，
M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明：点P 在定直线上.22.（1）证明：当01x <<；时，sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()(
)2
1ln cos x
ax x f --=，若0=x 是()x f 的极大值点，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题1.【答案】A
【解析】【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为()()2
13i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，
则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.2.【答案】B
【解析】【分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为A B ⊆，则有：
若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.3.【答案】D
【解析】【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中
部共抽取400
6040600
⨯
=人，高中部共抽取2006020600
⨯
=，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020
400200C C ⋅种.4.【答案】B
【解析】【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.
【详解】因为()f x 为偶函数，则1
(1)(1)(1)ln (1)ln 33
f f a a =-∴+=-+，
，
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解得0a =，当0a =时，()21ln 21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得1
2x >或12x <-，
则其定义域为12x x
⎧
⎨⎩
或12x ⎫
<-⎬⎭
，关于原点对称.()()()()()()()1
21212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫
-=---⎛==== ⎪
-+-++⎝-⎭
-
，故此时()f x 为偶函数.5.【答案】C