2021年北京中考数学试卷分析
一、各个知识板块所占分值
二、各个知识板块考查的难易程度
三、试卷整体难度特点分析山东省会考准考证打印入口
2021年北京中考数学刚刚结束, 今年试卷整体呈现出“新颖”的特点，与近几年中考试题以及今年一模、二模试题有比较大的差异。总体难度与去年持平，但是最难的题目难度并没有去年高。考生做起来会感觉不太顺手，此份试卷对于优秀学生的区分度将会比去年大，而对于中当学生的区分度将不会有太大变化。
此份试卷呈现出以下几个特点:
1.题目的背景和题型都比较新颖。例如选择题的第8题、解答题第25题，尤其是25题第
一次在代数题目中用到了定义新运算，题目很新颖，知识点融合度较高。考察的方式都是平常同学们很少见到的题型。
2.填空题第12题试题结构与往年不同，考察观察能力和精确作图能力。本试卷的填空题
第12题，需要同学们在试卷上画出比较精确的线段才能很好的发现其中的规律，而所体现的规律本身并不复杂，是一个等差数列问题。
3.弱化了对于梯形的考察。解答题第19题并没有像之前一样是一道题型的问题，取而代
之的是一道四边形的题目。难度并不大。
4. 与圆有关的题目增多，例如选择题第8题、解答题第20题。解答题第24题第二问也可
以通过构造辅助圆来解决。
5. 考察学生对于知识点的深入理解能力。解答题第23题第三小问，重点考察直线与抛物
线位置关系的深入理解，难度较大。
四、试题重点题目分析
(2021年北京中考第23题)
综合基础知识2022题库23．已知二次函数23
(1)2(2)2y t x t x =++++
在0x =和2x =时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的
图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值；
（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，(点B
在点C 的左侧)，将二次函数的图象在点B C ，间的部分(含点B 和点C )向左平移
(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将(2)中得到的直线6y kx =+向上平
移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
【解析】⑴ 由题意可知依二次函数图象的对称轴为1x =
则()()
22121t t +-
=+。
∴3
2
t =-
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∴23
22
y x x =-++1
⑵ ∵因二次函数图象必经过A 点 ∴()()2
1333622
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m =--+-+=-×
又一次函数6y kx =+的图象经过A 点
∴366k -+=-，∴4k =
⑶ 由题意可知，点B C ，间的部分图象的解析式为()()1
312
y x x =-
-+，
13x -≤≤
则向左平移后得到的图象C 的解析式为()()312
y x n x n =--+++1
13n x n ---≤≤
此时平移后的解析式为46y x n =++
由图象可知，平移后的直线与图象C 有公共点， 则两个临界的交点为()10n --，与()30n -， 则()0416n n =--++    23
n =
()0436n n =-++      6n = ∴2
63n ≤≤
【评价】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到n 的取值范围。
(2021年北京中考第24题)
24．在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线
段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。
(1) 若α=60︒且点P 与点M 重合(如图1)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补
2022一分一段表查询全图形，并写出CDB ∠的度数；
A(-3，-6)此为两个函数的切点
坐标为(-n-1,0)
坐标为(3-n,0)
(2) 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想
CDB ∠的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；
(3) 对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ，M 重合)时，
能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围。
【解析】
⑴
，30CDB ∠=︒
⑵ 连接PC AD ，，易证APD CPD △≌△
∴AP PC =  ADB CDB ∠=∠  PAD PCD ∠=∠    又∵PQ PA =    ∴2PQ PC ADC CDB =∠=∠，，PQC PC
D PAD ∠=∠=∠ ∴180PAD PQD PQC PQD ∠+∠=∠+∠=︒ ∴()360180APQ ADC PAD PQD ∠+∠=︒-∠+=︒ ∴1801802ADC APQ α∠=︒-∠=︒-
∴21802CDB α∠=︒- ∴90CDB α∠=︒-
⑶ ∵90CDB α∠=︒-，且PQ QD =
∴21802PAD PCQ PQC CDB α∠=∠=∠=∠=︒-    ∵点P 不与点B M ，重合 ∴BAD PAD MAD ∠>∠>∠ ∴21802ααα>︒-> ∴4560α︒<<︒
【评价】此题并没有考察常见的动点问题，而是将动点问题和几何变换结合在一起，应用一个点构造2倍角。需要同学们注意图形运动过程中的不变量，此题可以用倒角(上述答案的方法)或是构造辅助圆的方法解决。
(2021年北京中考第25题)
25．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”
，给出如下定义:
若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -；    若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -.
例如：点1(12)P ，，点2(35)P ，，因为|13||25|-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”
为|25|3-=，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线1
PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点)。    (1)已知点1
(0)2
A -，，
B 为y 轴上的一个动点，
①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；          ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；    (2)已知C 是直线3
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y x =
+上的一个动点，          ①如图2，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应
的点C 的坐标；
②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的
“非常距离”
的最小值及相应的点E 和点C 的坐标。
【解析】⑴ ①()02-，或()02，
②2
1 ⑵ ①设C 坐标00334x x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，