题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
A．r(A，AB)=r(A)
B．r(A，BA)=r(A)
C．r(A，B)=max{r(A)，r(B)}
D．r(A，B)=r(ATBT)
正确答案：A
解析：解一 易知r(A，AB)≥r(A)．又由分块矩阵的乘法，可知(A，AB)=A(E，B)，因此r(A，AB)≤min{r(A)，r(E，B)}， 从而 r(A，AB)≤r(A) 所以r(A，AB)=r(A)，故选项(A)
正确． 解二 排除法 对选项(B)，取则r(A)=1，r(A，BA)=2． 对选项(C)，取则r(A)=r(B)=1，r(A，B)=2． 对选项(D)，取则r(A，B)=1，r(AT，BT)=2． 知识模块：线性代数
2． [2003年] 设三阶矩阵若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( )．
A．a=b或a+2b=0
B．a=b或a+2b≠0
C．a≠b且a+2b=0
D．a≠b且a+2b≠0
正确答案：C
乌鲁木齐人事考试专栏解析：解一 因秩(A*)=1，由A与其伴随矩阵A*的秩的关系知，秩(A)=n－1=3－1=2．因 为使秩(A)=2，必有|A|=0，且即a≠b，故a≠b且a+2b=0．仅(C)入选． 解二 由|A|=(a+2b)(a－b)2=0，得到a+2b=0或a=b．但当a=b时，秩(A)=1≠2，故a+2b=0且a≠b．仅(C)入选． 知
识模块：线性代数
3． [2005年] 设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B－C为( )．
A．E
B．－E
C．A
D．－A
正确答案：A
解析：解一 仅(A)入选．由B=E+AB得到(E－A)B=E，两边左乘(E－A)－1得到B=(E－A)－1． 由C=A+CA得到C(E－A)=A，两边右乘(E－A)－1，得到C=A(E—A)－1，则B－C=(E－A)－1－A(E－A)－1=(E－A)(E－A)－1=E． 解二 由B=E+AB，C=A+CA，有B－AB=E，C－CA=A．于是 (E－A)B=E， C(E－A)=A， ①则E—A与B可逆，且互为逆矩
河北事业单位最新招聘信息阵．于是有B(E－A)=E， ②则由式②一式①，得到 B(E－A)－C(E－A)=(B－C)(E－A)=E—A， 即 B－C=E． 仅(A)入选． 知识模块：线性代数
4． [2006年] 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记则( )．
A．C=P－1AP
B．C=PAP－1
C．C=PTAP
D．C=PAPT
正确答案：B
解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等矩阵与初等变换的关系有B=PA．令矩阵则E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q．于是有C=BQ，从而有C=PAQ，由于则C=PAQ=PAP－1．仅(B)入选． 知识模块：线性代数
5． [2011年] 设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得到矩阵B，再交换B的第2行与第3行得到单位矩阵，记则A=( )．
A．P1P2
B．P1－1P2
C．P2P1
D．P2P1－1
正确答案：D
解析：解一 由题设有B=AP1，P2B=E，即P2B=P2AP1=E．又因P2，P1可逆，且P2-1=P2，故A=P2-1EP1-1=P2EP1-1=P2P1-1．仅(D)入选． 解二 由命题2．2．5．1知，对A所进行的初等变换可表示为P2AP1而 P2AP1=P2(AP1)=P2B=E， 故 A=P2-1P1-1=P2P1-1． 仅(D)入选． 注：命题2．2．5．1(初等变换与初等矩阵左、右乘的关系) 每一次初等变换都对应一个初等矩阵，且对矩阵A施行一次初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵． 知识模块：线性代数
6． [2009年] 设A，P为三阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则QTAQ为( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：解一 因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]=PE21(1)，利用命题2．2．5．2(1)及题设，得到 解二 仅(A)入选． 故 注：命题2．2．5．2 (1)初等矩阵的转置矩阵的性质： EiT(k)=Ei(k)， EijT=Eij， EijT(k)=Eij(k)． 知识模块：线性代数
7． [2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q－1AQ=( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：解一 因故 于是 解二 用初等矩阵表示Q得到Q=PE12(1)．由E12-1(1)=E12(-1)得到 知识模块：线性代数
8． [2005年] 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )．
A．λ1≠0
B．λ2≠0
C．λ1=0
D．λ2=0
正确答案：B
解析：解一 首先注意α1，α2线性无关．在推导α1，A(α1+α2)线性无关的条件时要用到它． 设k1α1+k2A(α1+α2)=0，则k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0．因α1，α2线性无关，故k1+k2λ1=0，k2λ2=0．当λ2≠0时，有k2=0，从而k1=0．于是当λ2≠0时，α1，A(α1+α2)线性无关． 反之，若α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2线性无关，则必有λ2≠0．因为如果λ2=0，则α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关与题设矛盾．综上所述，仅(B)入选． 解二 因向量组α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2可看成线性无关向量α1，α2的线性组合，且 [α1，A(α1+α2)]=[α1，λ1α1+λ2α2]=[α1，α2] 由命题2．3．2．2知，向量组α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是的秩等于2，而秩故仅(B)入选． (注：命题2．3．2．2 设向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βs为该向量组的线性组合： 即 其中A=[aij]s×t称为线性表示的系数矩阵．或 则向量组β1，β2，…，βt线性无关线性表示的系数矩阵A=[aij]s×t或矩阵K=AT的秩为t．) 知识模块：线性代数
9． [2010年] 设向量组(I)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题中正确的是( )．
A．若向量组(I)线性无关，则r≤s
B．若向量组(I)线性相关，则r>s
C．若向量组(Ⅱ)线性无关，则r≤s
D．若向量组(Ⅱ)线性相关，则r>s
正确答案：A
解析：仅(A)入选．因向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表示，故秩(I)≤秩(Ⅱ)=秩([β1，β2，…，βs)≤s． 若向量组I线性无关，则秩(I)=秩([α1，α2，…，αr])=r，故r=秩([α1，α2，…，αr])≤秩([β1，β2，…，βs])≤s． 知识模块：线性代数
填空题
10． [2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=___________．
如何报考消防工程师资格证书正确答案：－1
解析：因aij=－Aij，则(aij)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=－(Aij)，故AT=－A*，从而|A|=|AT|=|－A*|=(－1)3|A|3－1=－|A|2，即|A|2+|A|=|A|(|A|+1)=0，故|A|=0或|A|=－1． 若|A|=0，则由|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾．故|A|=－1． 知识模块：线性代数
聊城市教育局11． [2007年] 设矩阵则A3的秩为__________．
正确答案：1
解析：解一 由矩阵乘法直接计算得到 由于A3中非零子式的最高阶数为1，由矩阵的秩的定义知，秩(A3)=1． 解二 A3的秩等于1．设其中αi(i=1，2，3，4)为A的行向量，则 知识模块：线性代数
12． [2017年] 矩阵α1，α2，α3为线性无关的三维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为___________．
正确答案：2
解析：解(Aα1，Aα2，Aα3)=A(α1，α2，α3)， 因为α1，α2，α3线性无关，所以(α1，α2，α3)可逆，从而秩[Aα1，Aα2，Aα3]=秩(A)． 由得，秩(A)=2，故向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为2． 知识模块：线性代数
13． [2002年] 设三阶矩阵三维列向量α=[a，1，1]T，已知Aα与α线性相关，则a=_______．2017年国家公务员考试行测真题及答案
正确答案：－1
解析：解一 因α=[a，1，1]T，Aα=[a，2a+3，3a+4]T，故[*]得a=－1． 解二 两个向量Aα与α线性相关[*]这两个向量中至少有一个向量可由另一个向量线性表出．即存在数k≠0，使Aα=kα(或α=μAα)，亦即k为特征值，α为A的属于特征值k的特征向量．由Aα=kα得到 [*]得a=－1，k=1． 知识模块：线性代数
14． [2005年] 设行向量组[2，1，1，1]，[2，1，a，a]，[3，2，1，a]，[4，3，2，1]线性相关，且a≠1，则a=___________．
正确答案：1／2
解析：解一 设所给的4个行向量依次为α1，α2，α3，α4，且令A=[α1T，α2T，α3T，α4T]．因4个四维向量线性相关的充要条件是其行列式等于零，故由|A|=|α1T，α2T，α3T，α4T|=(1－a)(1－2a)=0，得到a=1或a=1／2．因a≠1，故a=1／2． 解二 用初等行变换求之．对AT作初等行变换，化为阶梯形矩阵，得到 由于所给向量组线性相关，秩(AT)可经初等列变换化为矩阵
全国四级英语成绩查询15． 求a；
正确答案：由题设条件可知矩阵A与B等价，则r(A)=r(B)． 因为 所以 因此a=2. 涉及知识点：线性代数
16． 求满足AP=B的可逆矩阵P．
正确答案：设矩阵对增广矩阵作初等变换可得 解得 所以 又因P可逆，因此 即k2≠k3． 故其中k1，k2，k3为任意常数，且k2≠k3． 涉及知识点：线性代数
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