2021年第07期204
课程研究
矩阵特征值性质及其在考研数学解题中的应用研究
郭良宝
海南师范大学，海南海口570100
都说考研能否成功关键是看数学分数，这里足见这一学科的重要程度重要程度。数一考察高数、现代以及概率论，数二只考察高数与现代，总之线性代数在考研数学中必不可少，很多同学在日常的学习过程中会觉得现代较为简单，但是在做模拟题时得分情况却往往不太乐观。其实，虽说现代的知识体系较少，但它的逻辑性较强，各章之间的联系十分密切，矩阵的计算与相关定理的掌握是这一学科的基础，贯穿始末，接下来我们就来讨论矩阵特征值这一知识板块。
一、矩阵特征值的概念及相关性质
（一）基础知识
如果A为n阶矩阵，且有一个数Q以及一个n维的列向量a，它们存在这样一种关系：Aa=XA，那么我们就认为X是矩阵A 的一个特征值，至于向量a就成为A的相对于X的一个特征向量。|XE-A|这个式子叫做矩阵A的特征多项式。在特征值的基础上我们将会学习求解方程基础解系的方法、学习到矩阵的相似和可对角化等相关知识点。所以说熟练掌握特征值的求解对这一部分知识的学习至关重要，这是基础、是重中之重。
（二）重要定理
若a1、a2、a3、a4、a5都是矩阵A属于特征值X的特征向量，那么当这些向量进行线性相加时且结果并非为零时，它仍会是矩阵A关于X的一个特征向量；矩阵的特征值相加或者相乘都有重要的考察意义，他们分别于矩阵主对角线上的元素和该矩阵的行列式有关，我们需熟记于心，这种小知识点常运用于大题的步骤中，考察细微不可忽视，它对整个大题的解答具有过度的作用；不同特征值的特征向量线性无关，这个定理要特别记忆，其重要性不言而喻，是很多解题中技巧性地一步；如果A与B相似且有相同的特征多项式，那么可以推出他们有相同的特征值；如果n阶方阵有n个不同的特征值，那么该方阵就可相似对角化；实对称矩阵互不相同的特征值所对应的特征向量有正交的关系，这一定理也许熟练记忆；矩阵特征值所设计到的相关定理很多，还包括Schmidt正交化方法、实对称矩阵的对角化等定理，这些相关定理的使用与掌握会让我们准确掌握出题意图，快速精准的进行正确的计算，最终得出正确解答。
二、在历年考研数学中的应用
2018年的考研数学中考察到了利用特征值与特征向量求解矩阵的行列式；在2020年的试卷中考察了利用特征值求解可逆矩阵，并判断是否为相似对角矩阵。诸如此类的相关应用很多，每年都会进行考察。考查形式大体会有正相考察与反向考察两种，前一种较为简单，有固定的解答步骤，有规律模板可记忆，相对而言后一种较为复杂，往往出其不意，它往往通过各种定理反向推导，这就需要我们对各种定理的使用情况熟练记忆，面对逆向考察时选择准确的定理进行解答，例如对于实对称矩阵这一特殊矩阵就可以根据其中一个特征向量进而推导出和它相关的其它特征值的特征向量，它往往需要通过这一定理先计算出所有的特征向量才能进行下一阶段的计算。所以我们要认真总结它在历年真题中的考查形式，有针对性的进行学习训练。
三、学习方法与途径
矩阵的特征值与特征向量等相关知识点是线性代数中的重点，综合性较强，需要花费较长的时间学习。首先我们可以跟这张宇或者李永乐等老师进行系统的网上课程学习，在初次的学习过程中对于各种知识概念的讲解和各种定理的推到一定要认真学习，千万不可以认为最后记忆定理过程无用这种想法。对一个知识点我们不光要知其然更要知其所以然，这对该定理的记忆具有很强的辅助作用，另外对于复杂多变的出题形式，我们只有知其根本，才能选择恰当的定理进行合理应用，不至于在面对新的出题方法时手足无措，究其根本就是对知识点的掌握不够深入。
在第一阶段系统性的学习完成后我们就要进行题海战术，即针对每一板块的学习对该部分的知识点进行巩固与再记忆、再学习。通过此阶段的学习我们的心中都应有一个知识框架，并熟练记忆所有的相关定理，做到熟稔于心，胸有成竹。接下来的第三阶段我们就要进行历年数学真题的训练，掌握出题方式与规律，对各种知识点的考察方法都要做一个细致的总结与学习，对于做错的题要特别记出来，以便日后方便学习。最后阶段当然是查漏补缺，另外也要尽己所能，练习一些预测题，所谓见的题多了，自然就准备充分有更大把握了。
结语:人才网最新招聘信息
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矩阵特征值的性质及其相关定理在考研数学中的考察有着不可忽视的比例，我们一定要熟练掌握，对相关定理进行认真记忆，并认真总结其在考研数学中的多种考查形式，例如求方程的基础解系、求对角矩阵、利用解的特点进一步推出全部的特征向量、相似对角化的判断、求参数等的解题形式，争取在考场上拥有准确的解答能力。
中级考试时间参考文献：
河北2023年公务员岗位招录表[1]陈华，何佳怡，袁致成，吴奔潮，彭浩天.矩阵特征值性质及其在考研数学解题中的应用[J].教育教学论坛,2020(33):324-325.
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[3]刘红梅. 基于矩阵特征值与特征向量的应用研究[J]. 许昌学院学报, 2019, 38(02):6-9.
最新任免人员名单作者简介：
郭良宝（1995.09）汉族；籍贯：海南省东方市；学校：海南师范大学数学与统计学院数学与应用数学专业学生。
摘  要：线性代数作为考研数学的必考学科，无论是数一还是数二都对该学科有着不同程度的考察，虽然比重远不及高数，但却起着重要的作用。现代的知识点较为简单，但是需要理解的知识点不少，而且知识结构较为紧密，联系复杂，承前启后，不可断续学习。在考研试题中主要以选择题，填空题，大题的形式考察。本文研究了关于矩阵特征值性质在考研数学中的应用，希望对考研学子有一定的帮助作用。
关键字：矩阵特征值；考研数学；线性代数