2020年全国硕士研究生入学统一考试
数学一真题+解析（完整版）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上.（1）当+0x →下列无穷小的阶最高的是（）.
（A ）2
(1)dt x
t e -⎰（B
）(0
ln 1dt
x
+⎰
（C ）
sin 20
sin dt
x
t ⎰
（D
）
1cos 0
-⎰
【答案】（D ）【详解】(A)2
2
'20
(
(1))1(0)
x
t x e dt e x x +-=-→⎰
(B)3'2
(ln(1)ln(10)x x x +=+→⎰
(C)sin 2'220
(
sin )sin(sin )cos (0)
公务员面试试题答案x
t dt x x x x +=→⎰
(D)
.1cos '40
(
)(0)
x cx x -+=→⎰
（2）函数()f x 在(1,1)-有定义，且0
lim ()0x f x →=，则（
）．
（A
）若0x →=，则()f x 在0x =可导；
（B ）若20
()
lim
2022年护考时间的考试时间0x f x x
→=，则()f x 在0x =可导；（C ）若()f x 在0x =
可导，则0x →=；
（D ）若()f x 在0x =可导，则2
()
lim
0x f x x →=.【答案】（C ）
河南交通职业技术学院【详解】（A ）反例()||
f x x =（B ）反例0,0
()1,0
0,0x f x x x <⎧⎪
==⎨⎪>⎩
（D)反例2
()f x x
=
（3）函数(,)f x y 在(0,0)可微，(0,0)0f =，(0,0)
(,,1)f f
n x y →
∂∂=-∂∂非零向量α→与n →垂
直，则（）
（A
）
(,)lim
x y →（B
）
(,)lim
x y →存在
（C
）
(,)lim
x y →存在
（D
）
(,)lim
x y →存在
【答案】（A ）
【详解】因为(,)f x y 在(0,0)可微
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所以0
x y →→''-⋅-⋅=又因为(,,(,))(,)x y n x y f x y x f y f f x y →
''⋅=⋅-⋅-
所以00
2019年司法考试主观题x y →→''⋅-⋅-=
从而00
x y →→=
即
(,)lim 0x y →=，故选（A ）.
（4）设R 为幂级数
n
n
n a x
∞=∑收敛半径，r 为实数，则（
）
（A ）当
220
n
n n a
r
∞
=∑发散时，则||r R ≥（B ）当
220
n
n
n a
r ∞
=∑收敛时，则||r R ≤（C ）当||r R ≥时，则
220
n
n
n a
r ∞
=∑发散
（D ）当||r R ≤时，则
220
n n
n a
r ∞
=∑收敛
【答案】（A ）
【详解】由级数收敛半径的性质得A 正确。（5）设矩阵A 经初等列变换得B ，则（）．
（A ）存在矩阵P ，使得PA B
=（B ）存在矩阵P ，使得BP A
=
（C ）存在矩阵P ，使得PB A =（D ）0AX =与0BX =同解
【答案】（B ）
【详解】由矩阵A 经过初等列变换得B ，从而存在可逆矩阵Q ，使得,AQ B =从而
1BQ A -=，令1P Q -=，则BP A =，故选B.
（6）直线2221111
:x a y b z c l a b c ---==与直线333
2222:x a y b z c l a b c ---==
相交于一点，记向量
i i i i a b c α⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，1,2,3i =，则（
）
（A ）1α可由2α、3α线性表示（B ）2α可由1α、3α线性表示（C ）3α可由1α、2α线性表示
（D ）1α、2α、3α线性无关
【答案】（C ）
【详解】由题知，两条直线的位置关系如下图：
则可知32AB αα=-    ，且又AB
与1α和2α共面，
所以可由1α和2α线性表示.
从而32αα-可由1α和2α线性表示，即3α可由1α和2α线性表示.应选（C ）.
（7）设A ，B ，C 为三个随机事件，且1
()()()4
P A P B P C ===
，()0P AB =，1
()()12
P AC P BC ==
，则A ，B ，C 恰有一个事件发生的概率是（）．
（A ）
34
（B ）23（C ）12（D ）
512
【答案】（D ）
【详解】
(()()
P ABC P ABC P ABC ++=()()()
P AB C P B A C P C A B ⋃+⋃+⋃=()(())()(())()(())P A P A B C P B P B A C P C P C A B -⋃++-⋃+-⋃=()()()()()()
P A P AB AC P B P AB BC P C P AC BC -⋃++-⋃+-
⋃
=()()()()()()()()()P A P AB P AC P B P AB P BC P C P AC P BC --+--+--=
5
12
，故选D.（8）12100,X X X ⋅⋅⋅为来自总体X 的简单随机样本，其中{}0P X =={}112
P X ==
，()X φ为标准正态分布的分布函数，利用中心极限定理可得100
1
{55}i i P X =≤∑近似值为（
）.
（A ）1(1)φ-（B ）(1)φ（C ）1(0.2)φ-（D ）(0.2)
φ【答案】（B ）【详解】
111
01222EX =⋅+⋅=
21
2
EX =
14
DX =
100
1()10050
i i E X EX ===∑100
1
()10025
i i D X DX ===∑所以，
100
1
50
(0,1)
5
i
i X
N =-∑ 1001001150551(1)5i i i i X P X P ==⎧⎫
-⎪⎪⎧⎫⎪⎪
≤=≤=Φ⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭
∑∑.故选B
二、填空题：9～14题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上.（9）极限011
lim 1ln(1)x x e x →⎛⎫- ⎪-+⎝⎭
=.
【详解】
0111ln(1)lim x x e x →⎡⎤
-⎢⎥-+⎣⎦=0ln(1)(1)(1)ln(1)lim x x x x e e x →⎡⎤+--⎢⎥-+⎣⎦
=0222
22[()][1()]1
22lim x x x x o x x o x x →-+-++++=0
222
()lim x x o x x →-+=1-
（10
）ln(x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则22
1d y t dx ==.
【详解】
1dy
dy
dt dx
dx t
dt
==
,2
223
1(11d d y t dx dx dt t t t xt =⋅=-⋅=-所以
,22
1
d y
t dx ==（11）函数()f x 满足()()()0(0),(0),(0),f x af x f x a f m f n ''''++=>==则
()f x dx +∞
=
⎰
.
【详解】
由题设知
()(()())(())
(())
f x dx f x af x dx f x af x +∞
+∞
+∞+∞''''=--=--⎰
⎰()(0)()(0)
f f af af ''=-+∞+-+∞+又由特征方程为2
10r ar ++=
求得特征根为1,22
a r -±=，又0
a >从而()f x 的通解有三种形式：
12121212(),()(),()(sin )
r x r x rx x f x c e c e f x c c x e f x e c cox x c x αββ=+=+=+无论哪种通解，总有()0,()0f f '+∞=+∞=从而
()f x dx n am
+∞
=+⎰
（12）设函数()2
,xy
xt f x y e dt =⎰
国家电网，则
()
21,1f
x y
∂=
∂∂.
【详解】