2020全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()()lim
x a
f x f a b x a →-=-，则sin ()sin lim x a f x a
x a
→-=- （ ）
（A ）sin b a （B ）cos b a （C ）sin ()b f a （D ）cos ()b f a 【答案】（B ） 【解析】由()lim
,x a f x a
b x a →-=-得(),()f a a f a b '==，则
（2）函数1
1
ln 1()(1)(2)
x x e x
f x e x -+=--的第二类间断点的个数为 （）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）
【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x =-，由此
111
2
11
11
ln 1lim ()lim
lim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x e
f x x e x e -
--→-→-→-+==-+=-∞---； 1
11
000ln 1ln(1)1
lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e
--→→→++==-=---； 11
1
1111
1
1
1
1
11ln 1ln 2
lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x e x f x e e x e e x e e x e ---++
--→→→--→→+===---+==-∞---；
1
1
22
22ln 1ln 31
lim ()lim
lim (1)(2)(1)2
x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞---- 故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C ）正确。
[]sin ()sin sin ()sin ()lim lim sin ()cos ()()cos x a
x a x a f x a f x f a f x f a f a b a x a x a
=→→--''====--
（3）设奇函数()f x 在(,)-∞+∞上具有连续导数，则 （A ）0[cos ()()]x
f t f t dt '+⎰是奇函数 （B ）0[cos ()()]x
f t f t dt '+⎰是偶函数 （C ）0[cos ()()]x
f t f t dt '+⎰
是奇函数 （D ）
[cos ()()]x
f t f t dt '+⎰
是偶函数
【答案】（A ） 【解析】由于()0()cos ()()cos ()()x海关公务员好考吗
F x f t f t dt f x f x '⎡
⎤'''=+=+⎢⎥⎣⎦
国考省考在哪里报名⎰ ()cos ()()cos ()()F x f x f x f x f x '''-=-+-=+，故()F x '为偶函数。
则[]0()cos ()()x
F x f t f t dt '=
+⎰为奇函数（偶函数的原函数为奇函数）。故选项（A ）正确。
（4）设幂级数
1
(2)
n
n
n na x ∞
=-∑的收敛区间为(2,6)-，则
21
(1)
n
n
n na x ∞
=+∑的收敛区间为（ ）
（A ）(2,6)- （B ）(3,1)- （C ）(5,3)- （D ）(17,15)- 【答案】（B ） 【解析】由题设
1
(2)
n
n
n na x ∞
黑龙江省公务员入口=-∑收敛区间为()2,6-，则收敛半径4R =。故
21
(1)
n
n n a x ∞
=+∑的
收敛半径为2，因此其收敛区间为（－3,1），即（B ）为正确选项。
（5）设4阶矩阵()
ij A a =不可逆，12a 的代数余子式120A ≠,1234,,,αααα为矩阵A 的列向量组，*A 为A 的伴随矩阵，则*
0A x =的通解为（ ） （A ）112233x k k k ααα=++，其中123,,k k k 为任意常数 （B ）112234x k k k ααα=++，其中123,,k k k 为任意常数 （C ）112334x k k k ααα=++，其中123,,k k k 为任意常数 （D ）122334x k k k ααα=++，其中123,,k k k 为任意常数 【答案】（C ）
【解析】A 由于不可逆，()4r A <；故，0A =.由()()*
1201413A r A r A ≠⇒≥≥-=，，
则()3r A =，()*
1r A
=，故*
0A x =的基础解系中有413-=个无关解向量。
此外，*
0A A A E ==，则A 的列向量为*
0A x =的解。则由120A ≠，可知134,,ααα线性无关（向量组无关，则其延伸组无关），故*
0A x =的通解为112334x k k k ααα=++，即选项（C ）正确。
（6）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属
于特征值1-的特征向量，则1
100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
的可逆矩阵P 为（ ）
（A ）()1323,,αααα+- （B ）()1223,,αααα+- （C ）()1332,,αααα+- （D ）()1232,,αααα+- 【答案】（D ）
【解析】设123(,,)P βββ=，若1
100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则13,ββ应为A 的属于特征值1
的线性无关的特征向量，2β应为A 的属于特征值1-的线性无关的特征向量。 这里根据题设，12,αα为A 的属于特征值为1的线性无关的特征向量，则12αα+也为 A 的属于特征值为1的线性无关的特征向量。又因3α为A 的属于1-的特征向量，则3α-也为A 的属于特征值1-的特征向量。且
123212312321231232100100(,,)(,,)101101010010(,,)(,,)3,,,,r r αααααααααααααααααα+-=--+-==+-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
由于可逆，故即线性无关
综上，若1231232()(,,),,P βββαααα==+-，则1
100010001P AP -⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
.
因此选项（D ）正确。
（7）设,,A B C 为三个随机事件，且()()()1
,4
P A P B P C ===
全国英语考试报名入口()0,P AB = ()()1
12
P AC P BC ==
，则,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为（ ） （A ）34 （B ）23 （C ）12 （D ）512
【答案】（D ）
【解析】设,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为p ，则
()(()p P ABC P ABC P ABC =++，,()0()0ABC AB P AB P ABC ⊂=⇒=，
(()()(())
111
()()()()=4126
P ABC P AB C P A P A B C P A P AB P AC P ABC ==-=--+=-
(()()(())
111
()()()()=4126
P ABC P BA C P B P B A C P B P AB P BC P ABC ==-=--+=- ；
()()()(())
121
()()()()=41212
P ABC P C A B P C P C A B P C P AC P BC P ABC ==-=--+=- ；
代入，可得1115661212
p =
++=. （8）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布10,0;1,4;2N ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，随机变量中服从标准正态分布且为X 独立的是（ ） （A
)X Y + （B
)X Y - （C
)X Y + （D
)X Y -
【答案】C
【解析】由题意可知：()()1
~0,1,~0,4,2
XY X N Y N ρ=-
， ()
cov ,1XY X Y ρ==-
(A))0E X Y ⎤+=⎥⎣⎦
2023公务员成绩查询,)()()()13
2cov ,5
5D X Y D X D Y X Y ⎤+=++=⎡⎤⎥⎣⎦⎣⎦
(B))0E X Y ⎤-=⎥⎣⎦
，)()()()17
2cov ,5
5D X Y D X D Y X Y ⎤-=+-=⎡⎤⎥⎣⎦⎣⎦
(C))0E X Y ⎤+=⎥⎣⎦
，)()()()1
2cov ,13D X Y D X D Y X Y ⎤+=++=⎡⎤⎥⎣⎦⎣⎦
（D
）)0E X Y ⎤-=⎥⎣⎦
,
高考录取分数线查询)()()()17
2cov ,3
3D X Y D X D Y X Y ⎤-=+-=⎡⎤⎥⎣⎦⎣⎦
又
)()(
)()cov cov ,cov ,10X X Y X X X Y D X ⎡⎤+=+=-=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
X 则
与)Z X Y =+不相关，
又因1
0,X X Z Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
其中1
0⎛⎫
可逆，且(),X Y 服从二维正态分布，则(),Z X 也服从二维正态分布。对于二维正态分布，不相关与
独立等价，故选项（C ）符合题意。
二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()arctan sin z xy x y =++⎡⎤⎣⎦，则()0,dz π= 【答案】()1dx dy π-- 【解析】
()()()()22
cos cos ,1sin 1sin y x y x x y z z
x y xy x y xy x y ++++∂∂==∂∂++++++⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
将()0,π带入得1,1z z
x y
π∂∂=-=-∂∂ 因此()0,dz π=
()1dx dy π--
(10)曲线20xy x y e ++=在点()0,1-处的切线方程为 【答案】1y x =-.
【解析】方程20xy x y e ++=两边对x 求导即可得21(22)0xy y e y xy ''+++=，代入()0,1-可得(0)1y '=，则切线方程为10y x +=-，即1y x =-.
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