2020 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题与参考答案
一、选择题

（1）当 x  0 时，下列无穷小量最高阶是
（A） 0x  e t 2    1 d t .
（B） 0内蒙古考试网报名入口x ln 1
dt .
t 3
（C） 0sin x sin t 2 dt .
（D） 01 cos x
dt .
sin t 2
（1）【答案】（D）.
【解析】因为 lim
0x  e t 2
1 dt
lim
e x 2    1
lim
x2
1
,
x 3
3 x2
3
x  0 +
x  0 +
3 x 2
x  0+
故 x  0 时， 0x  e t 2
1 dt 是 x 的 3 阶无穷小；
0x ln 1
dt
ln 1
t 3
x3
因为 lim
lim
lim
x3
2
,
x  0 +公务员面试步骤和环节
5
x  0 +
5
3
x  0+  5
3
5
x 2
x
2
x2
2
2
故 x    0 时， 0x ln 1  t 3  dt 是 x 的 52 专升本报名时间2023年阶无穷小；
因为 lim
0sin x sin t 2 dt
lim
sin sin x 2  cos x
lim
sin 2 x
lim
x 3
3 x 2
x  0 +
x  0 +
x  0 +    3 x 2
x  0+
故 x    0 时， 0sin x sin t 2 dt 是 x 的 3 阶无穷小；
1
（    ）
x2      1
3 x2    3 ,

01  cos x
因为 lim
sin t 2
dt
lim
sin 1  cos x 2  sin x
lim
sin 1  cos x 2
1,
0
1  cos x  sin x
2
x  0 +
t d t
x  0 +
x  0+
1 cos x
1  cos x
又 01 cos x t dt
1
t 2
1 cos x
1
1  cos x 2
1
x4 ，
2
0
2
8
故 x    0 时， 01 cos x sin t 2 dt 是 x 的 4 阶无穷小；
综上， x    0 时，无穷小量中最高阶的是 01 cos x sin t 2 dt .
故应选（D）.
x  0
0, 则
（2）设函数乌鲁木齐人才招聘网 f
x
在区间
1,1 内有定义，且lim f
x
（
）
（A）当lim
f  x
0 时， f  x 在 x  0 处可导.
x  0
x
（B）当lim
f
x
0 时， f  x 在 x  0 处可导.
x  0
x2
（C）当 f  x 在 x  0 处可导时，lim
f  x
0 .
x  0
x
（D）当 f  x 在 x  0 处可导时，lim
f
x
0 .
x  0x2
（2）【答案】（C）.
【解析】
对于选项（A）：取 f    x    x ，满足已知，但 f  x 在 x    0 处不可导，排除（A）.
x,
x  0,
满足已知，但 f  x 在 x  0 处不可导，排除（B）.
对于选项（B）：f  x
x  0,
0,
对于选项（C）：当 f    x 在 x    0 处可导时， f    x 在 x    0 处连续，故
2

f  0  lim f
x  0, 且 f  0 存在，不妨设 f  0  lim
f  x  f 0
lim
f  x
A,
x  0
x  0
x
x  0    x
则lim
f  x
lim
f  x
x
0 . 同理可排除（D）.
x  0
x
x  0
x
x
故应选（C）.
（3）设函数 f  x 在点 0, 0
处可微， f  0, 0  0, n
f
f
,
,  1
，非零向量d 与
x
y
0,0
n 垂直，则
（
）
（A）
lim
n
x , y , f
x , y
0 存在.
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x , y0,0
x 2    y2
n
x , y , f
x , y
（B）
lim
0 存在.
x , y
0,0
x 2    y2
（C）
lim
d
x , y , f
x , y
0 存在.
x , y
0,0
x 2    y2
（D）
lim
d
x , y , f
x , y
0 存在.
x , y0,0
x 2    y2
（3）【答案】（A）.
【解析】因 f  x 在点 0, 0 处可微，且 f  0, 0    0 ，故
fx , y  f  0, 0  f x  0, 0 x  f y  0, 0  y    x 2    y2  ,
f
f
f x  0, 0 , fy  0, 0 ,  1 ，故
因为n
,
,  1
x
y
0,0
n    x , y , f    x , y    f x  0, 0 x    f y  0, 0  y    f    x , y    x 2    y2  ，
3