2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析
一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线
()=y f x 的拐点的个数为( )
(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3
【答案】（C ）
【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.
(2)设211
()23
=
+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )
(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C)3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知，21
2x e 、13
x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x
y y y ce '''-+=，再将特解x
y xe =代入得1c =-.故选（A ）
(3) 若级数
1
∞贵州省教育招生考试院
=∑n
2021年护士资格证成绩查询n a
条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数
1
(1)∞
=-∑n
n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C)发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为
1
n
n a
∞
=∑条件收敛，即2x =为幂级数
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑的条件收敛点，所以
1(1)
n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
1
(1)
n
n
n na x ∞
=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数
1
(1)
n
n
n na x ∞
=-∑的
收敛点，发散点.故选（B ）.
(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面
区域，函数(),f x y 在D 上连续，则
(),D
f x y dxdy =⎰⎰ ( )
(A)
()1
杭州招聘网58同城3sin 214
2sin 2cos ,sin d f r r rdr π
θπθ
θθθ⎰⎰
(B)
()34
cos ,sin d f r r rdr π
πθθθ⎰
(C)
()13sin 214
2sin 2cos ,sin d f r r dr π
θπθ
θθθ⎰⎰
(D)
()34
cos ,sin d f r r dr π
πθθθ⎰
【答案】（B ）
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
x
【解析】先画出D 的图形，
所以
(,)D
f x y dxdy =
⎰⎰3
4
(cos ,sin )d f r r rdr π
πθθθ⎰，
故选（B ）
(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有
无穷多解的充分必要条件为 ( )事业单位面试真题1500
(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)
【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=→--
⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝
⎭⎝⎭，
由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）
(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为222
123
特岗教师报名2+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为
( )
(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C)2221232--y y y (D) 222123
2++y y y 【答案】(A)
【解析】由x Py =，故222123
()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-.
且200010001T
P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
.
由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪-⎝⎭
故有200()010001T T T
Q AQ C P AP C ⎛⎫
⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭
所以222
123
()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C)()()()
2
≤P A P B P AB (D) ()()()
2
≥
P A P B P AB
【答案】(C)
【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且
()()P AB P B ≤
，从而()()
()2
P A P B P AB +≤≤
，选(C) .
(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )
(A) 3- (B) 3 (C)5- (D) 5 【答案】(D)
【解析】2
2
[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+-
2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) .
二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9) 20ln cos lim
_________.x x
x →= 【答案】1
2
-
【分析】此题考查0
型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.
【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222
x x x x
x x x x x x →→→--===- 方法二：2
222200001
ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2
x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)
2
2sin ()d ________.1cos x x x x π
π-+=+⎰
【答案】2
π4
【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
【解析】222
02sin 2.1cos 4x x dx xdx x
π参军前多久做近视手术合适
π
ππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰
(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x
e xyz x x 确定，则(0,1)
d ________.z =
【答案】dx -
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令(,,)cos 2z
F x y z e xyz x x =+++-，则
(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+
又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.
所以
(0,1)
(0,1)
(0,1,0)
(0,1,0)1,
0(0,1,0)(0,1,0)
y x z z F F z
z
x
F y
F ''∂∂=-
=-=-
=''∂∂，因而(0,1)
.dz
dx =-
(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则
(23)__________.x y z dxdydz Ω
++=⎰⎰⎰
【答案】
14
【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得
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