2015年全国硕士研究生入学统一考试数学〔一试题
一、选择题：1
8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上。 <1>设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线
()=y f x 的拐点的个数为<  >
<A>  0<B>  1        <C>2<D> 3 [答案]〔C
[解析]拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选〔C. <2>设211
()23
=
+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则<  >
<A> 3,2,1=-==-a b c  <B> 3,2,1===-a b c  <C>3,2,1=-==a b c  <D> 3,2,1===a b c  [答案]〔A
[分析]此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
[解析]由题意可知,
212x e 、1
3
x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-,122b =⨯=，从而原方程变为
32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选〔A
<3> 若级数
1
∞
=∑n
n a
基金从业资格证2023年考试时间条件收敛，则
=
x 3=x 依次为幂级数1
(1)∞
=-∑n n n na x 的<  >
<A> 收敛点，收敛点 <B> 收敛点，发散点 <C>发散点，收敛点 <D> 发散点，发散点 [答案]〔B
[分析]此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 [解析]因为
1
n
n a
∞
=∑条件收敛，即2x =为幂级数
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑的条件收敛点，所以
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑的收
敛半径为1，收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
1
(1)
n
n
n na x ∞
=-∑的收敛区间
还是(0,2)。
因而x =
3x =依次为幂级数1
(1)n n n na x ∞
=-∑的收敛点，发散点.故选〔B 。
<4>  设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =
,y =围成的平面区域,
函数(),f x y 在D 上连续，则
(),D
f x y dxdy =⎰⎰ <  >
<A>
()13sin 214
2sin 2cos ,sin d f r r rdr π
θπθ
θθθ⎰⎰
<B>
(
)34
cos ,sin d f r r rdr π
πθθθ⎰
<C>
()13sin 214
2sin 2cos ,sin d f r r dr π
θπθ
θθθ⎰⎰
<D>
(
)34
cos ,sin d f r r dr π
πθθθ⎰
[答案]〔B
[分析]此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 [解析]先画出D 的图形, 所以
(,)D
f x y dxdy =
⎰⎰3
4
(cos ,sin )d f r r rdr π
2023专升本报名时间及流程πθθθ⎰，故选〔B
<5> 设矩阵21111214A a a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无
穷多解的充分必要条件为 <  >
<A> ,a d ∉Ω∉Ω <B> ,a d ∉Ω∈Ω <C>,a d ∈Ω∉Ω <D> ,a d ∈Ω∈Ω [答案]D
2022上海公务员面试名单[解析]2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b a
d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝
⎭⎝⎭,
由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。故选〔D
<6>设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为222
1232+-y y y ，其中
()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为
<  >
<A> 222
1232-+y y y  <B> 222
1232+-y y y  <C>222
1232--y y y  <D> 222
1232++y y y
[答案]<A>
[解析]由x Py =，故222
123
山东省招生考试院站入口
()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-.且 200010001T P AP ⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪-⎝⎭
. 所以222
123
()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+。选〔A <7> 若A,B 为任意两个随机事件，则<  >
<A> ()()()≤P AB P A P B <B> ()()()≥P AB P A P B  <C>()()
()2
福建教育考试院录取结果查询P A P B P AB +≤<D> ()()()2≥P A P B P AB
[答案]<C>
[解析]由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而
()()
()2
P A P B P AB +≤
，选<C> .
<8>设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y  <  >
<A> 3-<B> 3          <C>5-<D> 5 [答案]<D>
[解析]2
2
[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+-
23221225=++⨯-⨯=，选<D> .
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. <9> 20ln cos lim
_________.x x
x
→= [答案]1
2
-
[分析]此题考查0
型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.
[解析]方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222
x x x x
x x x x x x →→→--===-〔罗比达法则 方法二：2
222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2
x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====-〔等价无穷小替换 <10>
2
2sin ()d ________.1cos x x x x π中级书查询
π-+=+⎰
[答案]2
π4
[分析]此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
[解析]22
2
02sin 2.1cos 4x x dx xdx x π
π
ππ-⎛⎫+== ⎪+⎝
⎭⎰⎰
<11>若函数(,)=z z x y 由方程确定，则(0,1)
d ________.z
=
[答案]dx -