三轮压轴专题培优卷：《三角形综合》
1．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．
证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，
∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；
（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．
证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，
∴BD2+CD2＝DE2河南农村信用社招聘公告；
（3）①（2）中的结论还成立．
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理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°＝∠ECD，
∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，
∴BD2+CD2＝DE2；
②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，
∴CE＝＝＝8，
∴BD＝CE＝8，
∴CD＝8﹣6＝2，
∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴．
2．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB桂林市人力资源和社会保障局的数量关系．
河北考区最新通告【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．
【探究发现】
证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD
∴∠DCB＝∠DBC＝45°
∴DB＝DC
即DP＝DB；
【数学思考】
证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°
∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∵∠BDP＝∠CDG苏州相城区人才网＝90°
∴∠CDP＝∠BDG
，在△CDP和△GDB中，，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴DP＝DB．
3．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC和AC上，AD与BE相交于点F．
太原人才大市场（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＝CE，求证：∠1＝∠2；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，若CF⊥BF，求证：BF＝2AF；