全国研究生研究生入学统一考试
数学二试题
一、选取题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出四个选项中，只有一种选项符合题目规定，请将所选项前字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线221
x x
y x +=-渐进线条数________
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
（2）设函数2()(1)(2)
()x
x
nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则(0)________f '=
（A ）1
(1)
(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -
（3）设0(1,2,3)n a n >=，123n n S a a a a =+++
+，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收
敛_______.
（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分也非必要 （4）设2
sin (1,2,3)k x k I e xdx k π
=
=⎰
，则有______
（A ）123I I I << （B ）321
广西毕业生就业网I I I <<
（C ）231
I I I <<
（D ）213I I I <<
（5）设函数(,)f x y 为可微函数，且对任意,x y 均有
(,)
0f x y x
∂>∂，
(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立一种充分条件是
（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > （6）设区域D 由曲线sin y x =，2
x π
=±
，1y =围成，则
5
(1)D
x y dxdy -=⎰⎰
（A ）π （B ）2 （C ）2- （D ）π-
（7）设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，4411c α-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，其中1234,,,c c c c 为任意常数，
则线性有关向量组为
（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα
（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1
112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）
（A ）100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）200020001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
二、填空题：9-14小题，每小题4分。请将答案写在答题纸指定位置上。
（9）设()y y x =是由方程2
1y
x y e -+=所拟定隐函数，则22
x d y dx
==____________
（10）222
22
11
1
lim (
)12n n n n n n →∞
+++
=+++____________
（11）设1(ln )z f x y =+
，
其中函数()f n 可微，则2z z x y x y
∂∂+=∂∂____________ （12）微分方程2
(3)0ydx x y dy +-=满足条件11
x y ==解为____________ （13）曲线2
(0)y x x x =+<；上曲率为
2
点坐标是____________ （14）设A 为3阶矩阵，3A =，*
A 为A 随着矩阵，若互换A 第一行与第二行得到矩阵
B ，则*BA =____________
三、解答题：15-23，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字阐明、证明过程或者演算环节。 （15）（本题满分10分） 已知函数11
()sin x f x x x
+=-，记0lim ()x a f x →=
（Ⅰ）求a 值
（Ⅱ）若当0x →时，()f x a -是k x 同阶无穷小，求k 。
（16）
（本题满分10分） 求22
2
(,)x y f x y xe
+-=极值
（17）（本题满分12分）
过点(0,1)作曲线:ln L y x =切线，切点为A ，又切线与x 轴交于B 点，区域D 由L 与线段AB 及x 轴围成，求区域D 面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体体积。 （18）（本题满分10分） 计算二重积分
D
xyd σ⎰⎰，其中区域D 为曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成
（19）（本题满分10分）
已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x
f x f x e '+=，
（Ⅰ）求()f x 表达式； （Ⅱ）求曲线2
20
()
()x
y f x f t dt =-⎰
拐点。
（20）（本题满分10分）
证明：2
1ln cos 1,1112
x x x x x x ++≥+-<<- 。
（21）（本题满分10分） （Ⅰ）证明方程11n n x x x -++
+=（1n >整数）
，在区间1
(,1)2
内有且有唯一种实根； （Ⅱ）记（Ⅰ）中实根为n x ，证明lim n n x →∞
存在，并求此极限。 （22）（本题满分11分）
设1
000
10001001a a A a a
⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪⎝⎭，11
00b ⎛⎫
⎪
- ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）当实数a 为什么值时，线性方程组Ax b =有无穷多解，并求其通解。
（23）（本题满分11分）
已知1
10111001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪
- ⎪-⎝⎭
，二次型123(,,)()T T
f x x x x A A x =秩为2.
（Ⅰ）求实数a 值
（Ⅱ）求运用正交变换x Qy =将f 化为原则型。
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数学二试题解析
一、选取题： （1）【答案】C
由于22
lim lim 11
x x x x
y x →∞→∞+==-，因此该曲线只有一条水平渐近线； 垂直渐近线：
函数221x x y x +=-定义域为1x ≠±，又由于22
11lim lim 1x x x x
上海事业编制一年考几次y x →→+==∞-，22111
lim lim 12
x x x x y x →-→-+==-，因此该曲线只有一条垂直渐近线； 斜渐近线：
由于22
lim lim 11
普通话考试成绩多久能查询x x x x
y x →∞→∞+==-，因此该曲线没有斜渐近线。 故应选(C). （2）【答案】A
【分析】考查导数定义或求导公式。本题既可以用导数定义求，也可求出导函数再代入
点。
【详解】法一：由题设知(0)0f =
而0
()(0)
(0)lim
x f x f f x
→-'=
没有报告编号怎么查高考成绩
2200
(1)(2)
()
(2)
()
lim
lim
x x nx x nx x x e e e n x e e n x
x
→→-----==
210
lim(2)
()(1)(1)!x
nx n x e
e n n -→=--=--
法二：由于22()(2)
()(1)2()x x
nx x x
nx f x e e e n e e e n '=--+--
2(1)(2)
x x nx e e ne +
+--
因此1(0)1(1)(2)
((1))(1)(1)!n f n n -'=----=--，故应选（A ）
（3）【答案】B
【分析】本题考查数列性质和级数性质。
安史之乱开始的时间是【详解】法一：充分性：由于0n a >，因此数列n S 单调递增，又由于数列{}n S 有界，因此数列{}n S 收敛，从而1lim lim()0n n n n n a S S -→∞
→∞
=-=。
非必要性：令1
n a n
=，则数列{}n a 收敛，而数列{}n S 无界； 故应选（B ）。
法二：充分性：由于0n a >，因此数列n S 单调递增，又由于数列{}n S 有界，因此数列{}n S 收敛，从而级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，有级数收敛必要条件可得lim 0n n a →∞
=
非必要性：令1
n a n
=，则数列{}n a 收敛，而数列{}n S 无界； 故应选（B ）。
（4）【答案】D
【分析】考查定积分性质、定积分换元积分法。 【详解】法一：先比较1I 与2I 大小
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