2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，2
3
0(1)x t e dt −⎰是7x 的（  ）
A.低阶无穷小
B.等价无穷小
云南招聘网站大全C.高阶无穷小
D.同阶但非等价无穷小
【答案】C
【解析】当0x →时，2
3
670(1)2(1)~2x t x e dt x e x '⎡⎤−=−⎢⎥⎣⎦
⎰，即230(1)x t e dt −⎰是7x 的高阶无穷小. 故选C.
（2）函数1
0()1,0x e x f x x x ⎧−≠⎪
=⎨⎪=⎩
，，在0x =处（  ）
A.连续且取极大值
B.连续且取极小值
C.可导且导数为0
D.可导且导数不为0
【答案】D.
【解析】因为001
lim ()lim 1(0)x x x e f x f x →→−===，即()f x 在0x =连续；
因为20001
1
()(0)11lim lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x
→→→−−−−−===−−，即1(0)2f '=. 故选D.
（3）设函数()ln (0)f x ax b x a =−>有2个零点，则b
a
的取值范围是（  ） A.(,)e +∞      B.(0,)e
C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】A.
【解析】令()0b f x a x '=−
=得，b x a
=. ln 0b b f b b a a ⎛⎫
=−< ⎪⎝⎭
，则ln 1b a >，即b e a >，故选A.
（4）设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =（  ） A.dx dy +      B.dx dy −      C.dy        D.dy −
【答案】C.
【解析】等式2(1,)(1)x f x e x x +=+两端同时对x 求导可得
212(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++
①
等式22(,)2ln f x x x x =两端同时对x 求导可得
2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x ''+=+
②
分别将0,1,
0,1
x x y y ==⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩代入①②可得1212(1,1)(1,1)1,(1,1)2(1,1)2f f f f ''''+=+=. 联立可得1212(1,1)0,(1,1)1,(1,1)(1,1)(1,1)f f df f dx f dy dy ''''===+=. 故选C.
（5）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++−−的正惯性指数与负惯性指数依次为（  ） A.2,0
B.1,1
C.2,1
D.1,2
【答案】B.
【解析】2222
1231223312
122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++−−=+++， 即011121110⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，故令特征多项式11121(1)(3)011λ
λλλλλλ−−⎛⎫ ⎪
−=−−−=+−= ⎪ ⎪−−⎝⎭
|E A |，可得
特征值为0,1,3−，即二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1. 故选B.
（6）设1234(,,,)αααα为4阶正交矩阵，若矩阵123T T T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
B ααα，111⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭β，k 表示任意常数，则
线性方程组=Bx β的通解=X （  ） A.2341k +++αααα        B.1342k +++αααα C.1243k +++αααα
D.1234k +++αααα
【答案】D.
【解析】因为1234(,,,)=A αααα为4阶正交矩阵，
所以向量组1234,,,αααα是一组标准正交向量组，则()3r =B . 又14243T T T ⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭0B ααααα，所以齐次线性方程组=0Bx 的通解为4k α.
而1123212331()()11T T T ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
++=++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
B ααααααααβα，
故线性方程组=Bx β的通解为1234k =+++x αααα，其中k 为任意常数. 故选D.
（7）已知矩阵101211125−⎛⎫
⎪
=− ⎪ ⎪−−⎝⎭
A ，
若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使PAQ 为对角矩阵，则,P Q 可以分别为（  ） A.100101010,013001001⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B.100100210,010321001⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ C.100101210,013321001⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭
D.100123010,012131001−⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】C.
国家公务员待遇好吗
【解析】101100101100(,)211010013210125001026101−−⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=−→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭
A E
101100013210(,)000321−⎛⎫ ⎪→−−= ⎪ ⎪−⎝⎭F P ，则100210321⎛⎫
⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭P . 1011000130100000001
00101010013
001001−⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪− ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
F E Q Λ，即101013001⎛⎫江西教育网毕业证查询
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭Q . 故选C.
（8）设,A B 为随机事件，且0()1P B <<，下列命题中为假命题的是（  ） A.若(|)()P A B P A =，则(|)()P A B P A = B.若(|)()P A B P A >，则(|)()P A B P A > C.若(|)(|)P A B P A B >，则(|)()P A B P A > D.若(|)(|)P A A B P A A B >，则()()P A P B > 【答案】D.
【解析】(())()
(|)()()()()
P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB =
=+−，
(())()()()(|)()()()()()
P A A B P AB P B P AB P A A B P A B P A B P A P B P AB −=
==+−.
因为(|)(|)P A A B P A A B >，所以()()()P A P B P AB >−，故选D. （9）设1122(,),(,),
,(,)n n X Y X Y X Y 为来自总体22
1212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本，令
12θμμ=−，11n i i X X n ==∑，1
1n
i i Y Y n ==∑，ˆX Y θ
=−，则（  ） A.2212
ˆˆ(),()E D n σσθθθ+==
B.22
1212
2ˆˆ(),()E D n σσρσσθθθ+−==
C.22
12
ˆˆ(),()E D n
σσθθθ+≠=
D.22
1212
2ˆˆ(),()E D n
σσρσσθθθ+−≠=
【答案】B.
【解析】因为(,)X Y 服从二维正态分布，所以,X Y 均服从二维正态分布，则 X Y −也服从二维正态分布，即
12
22
1212ˆ()()()(),2ˆ()()()()cov(,).
E E X Y E X E Y D D X Y D X D Y X Y n
θμμθσσρσσθ=−=−=−=+−=−=+−= 故选B.
信用社（10）设总体X 的概率分布为11{1},{2}{3}24
P X P X P X θθ
−+==
====，利用来自总体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得θ的最大似然估计值为（  ） A.1
4
B.38
C.12
D.52
【答案】A.
【解析】似然函数3
5
11()24L θθθ−+⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
取对数得11ln ()3ln 5ln 24L θθθ−+⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 求导得
ln ()31
5011d L d θθθθ
=+=−+，即14θ=.故选A.
二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上. （11
国家开发银行学生在线系统）若cose y =1
=
.x dy dx
=
【答案】1考公务员申论怎么准备
sin 2e e
【解析】
1
1sin
sin 2x dy
dy e e e dx
dx e −⎛=−= ⎝
.
（12
）5.=
【答案】6.
【解析】2235
353
311622−+==⎰
⎰. （13）设平面区域D
由(01)y x x π=≤≤与x 轴围成，则D 绕x 轴旋转所围成的旋转体体积为        . 【答案】
4
π
.
【解析】1
1
222000
1
)sin sin 24
x
x t V x dx x xdx tdt ππ
ππππ=====
=
⎰⎰⎰.
（14）t y t ∆=的通解为t y =        .
【答案】*21122
y y y t t C =+=−+，C 为任意常数.
【解析】*1
,(),(1)((1))(1),2
y C y at b t a t b t at t ==++++−+=112,,,
2
2
at a b t a b ++===−*211
22
y y y t t C =+=−+，C 为任意常数.
（15）多项式12121
()211211x x x x
f x x x
−=
−中3x 项的系数为        . 【答案】5−. 【解析】12211211112
121
()1121211211211
112131211
21
1x x x
x x x x
f x x x x x x x x x x x x
−−−−=
=−−−−−−−. 所以展开式中含3x 项的有33,4x x −−，即3x 项的系数为5−.
（16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令,X Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 和Y 的相关系数为        .