2020年湖南省特岗教师招聘考试数学试卷模拟题（4）
考试时间：120分钟总分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.设随机变量()23N ξσ ，，集合(){}223A a f x x x a a ==-+∈R ，不存在零点，，则()P A ξ∈=（）
A.12
B.13
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C.1
5-  D.1
5
2.若函数()32f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-，其中a 和b 是两实常数，则必有（）
A.=4a -，1b =
B.=4a ，7b =-
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C.=0a ，3b =-
D.1a =，1b =3.20d 9a x x =⎰，则在()21a
x x +的展开式中含3x 项的系数为（）
A.15
B.20
C.25
D.30
4.正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=（）
A.4-
B.4
C.4±
D.85.若双曲线的标准方程为22
1521x y a a -=--，则a 的取值范围是（）A.52a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭  B.512a a a ⎧⎫
<>⎨⎬⎩⎭或  C.{}1a a <  D.512a a ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
6.矩阵012301120⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
的秩为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
7.体现数学学科核心素养的四个方面分别是情境与问题、知识与技能、思维与表达、（）
A.交流与合作
B.合作与反思
C.逻辑与思维
D.交流与反思
8.《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够养成良好的学习习惯。良好的学习习惯主要是指认真勤奋、独立思考、合作交流和（）
A.反思质疑
B.坚持真理
C.修正错误
D.严谨求实9.方程222
1442x y z ++=表示的曲面是（）
A.旋转双曲面
B.旋转椭球面
C.旋转抛物面
D.椭圆抛物面10.求行列式的值：111
111124
-=（）
A.6-
B.3
C.6
D.2
-
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11.5名同学参加3个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，其中甲、乙不参加同一社团组织，则共有__________种不同方案。
12.已知实数x y ，满足约束条件50
21010
x y x y y +-≤
⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，则x y -的最小值为__________。
13.设变量x y ，满足()()22222x y -+-=，则y
x 的最大值为__________。
14.从命题中的结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后得到命题中的假设或已被证明的事实，这种从结果寻条件的思维方法称为__________。
15.已知函数()()21e x f x x x =++，则()f x 在0x =的切线方程为__________。
16.已知a ，b 为单位向量，且0++=a b c ，则c 的最大值为__________。
三、解答题（本大题共5小题，17、18题每题8分；19-21题每题10分，共46分）
17.将平面曲线2y x =分别绕y 轴和x 轴旋转一圈，所得旋转曲面分别记作1S 和2S 。
（1）在空间直角坐标系中，分别写出曲线1S 和2S 的方程；（2）求平面4y =与曲线1S 所围成的立体图形的体积。
18.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos b c
a
A B -=，
（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC △的面积S 的最大值。
19.如图所示，ABCD BCE ⊥平面平面，四边形ABCD 为矩形，BC CE =，点F 为CE 的中点。
（1）证明：AE ∥平面BDF ；（2）点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM BE ⊥？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由。
20.设函数()e e x x f x ax -=--（a 为常数）。
（1）求()f x 的导函数()f x '的最小值；（2）若对所有0x ≥都有()0f x ≥，求a 的取值范围。
21.在学习了“直线与圆的位置关系”后，教师要求学生解决如下问题；
求过点(2,3)P 且与22:(1)1O x y -+= 相切的直线l 的方程。
一位学生给出的解法：由22(1)1x y -+=可知，圆心(1,0)O ，半径为1，设直线l 的斜率为k ，其方程为3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=。因为直线l 与圆22:(1)1O x y -+=相切，所以圆心O 到直线l 的距离为223
11k k d k -+==+，解得4
3k =，所以，所求直线l 的方程
为4310x y -+=。
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问题：（1）指出该解法的错误之处，分析错误原因，并给出两种正确解法；（2）针对该题的教学，谈谈该如何设置问题，帮助学生避免出现上述错误。（3）如果你是老师，学生对本题做出了错误的回答，你应该如何处理？
答案解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.【答案】选A 。
【解析】由题可得{}3A a a =>，又随机变量()23N ξσ ，，所以()1
2P A ξ∈=。故本题
选A 。
2.【答案】选C 。
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【解析】由题意可得2()32f x x ax b '=++，()(1)320112f a b f a b '=++=⎧⎪⎨=++=-⎪⎩，解得0
3a b =⎧⎨=-⎩。故本题
选C 。
3.【答案】选A 。
【解析】23001d |93a a
x x x ==⎰，解得3a =，()()2611a x x x x ∴+=+，又()61x x + 中相乘的
项有x ，则只需后项()61x +中是2x ，则展开式中通项为16C r
r r T x +=，令2r =，可得
22236C 15T x x ==。()6
1x ∴+展开式中2x 项的系数为15，在()21a x x +的展开式中含3x 项的系数为15。故本题选A 。
4.【答案】选B 。
【解析】根据题意可得，222288216a a a a ++=，即()2
2816a a +=，又∵数列{}n a 为正
项等比数列，∴284a a +=。故本题选B 。
5.【答案】选B 。【解析】∵双曲线的标准方程为2
2
1521x y a a -=--，∴()()5210a a -->，解得5
2a >或
1a <。故本题选B 。
6.【答案】选D 。
【解析】对矩阵初等变换，13
23
21
32
全国注册会计师报名时间36012120120301301061120012012r r r r
事业编面试题目100及最佳答案r r r r ↔↔+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∼∼∼1200120011-⎛
⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
，则该矩阵的秩为3。
7.【答案】选D 。