2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（理科）
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ）
A ．2
()[0)f x x x =∈+∞，，
B ．3
()()f x x x =∈-∞+∞，，
C ．()e ()x
f x x =∈-∞+∞，，
D ．1
()(0)f x x x
=
∈+∞，， 2．设l m n ，，均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <- B ．1a ≤
C ．1a <
D ．1a ≥
4．若a
=，则a 等于（ ）
A
B
．
C
．
D
．-
5．若22{228}{log 1}x A x B x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则()A B R I ð的元素个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．函数()3sin 2f x x π⎛
⎫
=- ⎪3⎝⎭
的图象为C ， ①图象C 关于直线11
12
x =π对称； ②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫
-
⎪1212⎝
⎭，内是增函数； ③由3sin 2y x =的图象向右平移
π
3
个单位长度可以得到图象C ． 以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
7．如果点P 在平面区域220
21020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩
≥≤≤上，点Q 在曲线22
(2)1x y ++=上，那么PQ 的
最小值为（ ）
A
1
B
1- C
．1 D
1
8．半径为1的球面上的四点A B C D ，，，是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ）
A
．arccos 3⎛- ⎝⎭
2023湖北省考公务员时间B
．arccos 3⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
C ．1arccos 3⎛⎫
考公务员超吃香十大专业-
⎪⎝⎭
D ．1arccos 4⎛⎫
-
⎪⎝⎭
9．如图，1F 和2F 分别是双曲线
2
2
22
1(00)x y
a b a b -=>>， 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ） A
B
C
．
2
D
．1
10．以()x ∅表示标准正态总体在区间()x -∞，内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布
2()N μσ，，则概率()P ξμσ-<；等于（ ）
A ．()()μσμσ∅+-∅-
B ．(1)(1)∅-∅-
C ．1μσ-⎛⎫
∅
⎪⎝⎭
D ．2()μσ∅+
11．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程
()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．5
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（理科）
第Ⅱ卷（非选择题 共95分）
注意事项： 请用0.5毫米黑墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．
第9题图
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．
12．若32n
x x ⎛+ ⎪⎝
⎭的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．
13．在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===u u u r u u u r u u u r
，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =u u u r
（用，，a b c 表示）．
14．如图，抛物线2
1y x =-+与x 轴的正半轴交于点A ，
将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为121n P P P -L ，，
内蒙古人力资源招聘信息网，， 过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为
2021年主管护师报名入口121n Q Q Q -L ，，，，从而得到1n -个直角三角形11Q OP △， 212121n n n Q PP Q P P ---L △，
，
△．当n →∞时，这些三角形 的面积之和的极限为 ．
15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．
三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已
知
0αβ
π
<<4
，
为
()cos 2f x x π⎛
⎫=+ ⎪
8⎝
⎭的最小正周期，
1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫
⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，a b ，且g a b m =．求
22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值． 17．（本小题满分14分）
如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为 2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面 1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．
（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；
（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示）．
A
B
C
英语四级可以查成绩了吗D
1A
1B
1C 1D
y
x
1Q 2Q
1n Q +
21y x =+
1P 2P
2n P - 1n P - O
第14题图
18．（本小题满分14分）
设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．
（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． 19．（本小题满分12分）
如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ．
（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标
c 的关系式
（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +
求证：直线CD 的斜率为定值． 20．（本小题满分13分）
在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数．主席选举
（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望E ξ； （Ⅲ）求概率()P E ξξ≥．
21．（本小题满分14分）
2x
第19题图
d 的等差数列．
与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，L L ．以n T 表示到第n 年末所累计
的储备金总额．
（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；
（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｂ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｄ 10．Ｂ 11．Ｄ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．7
13．
111244
++a b c 14．
1
3
15．①③④⑤
三、解答题
16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．
本小题满分12分． 解：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭
a
b ··． 故1cos tan 24m α
αβ⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭
·
． 由于π
04
α<<
，所以 222cos sin 2()2cos sin(22π)
cos sin cos sin ααβαααααα++++=--
22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα
++==--
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