[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编7
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=O，则( )
（A）E—A不可逆，E＋A不可逆。
（B）E—A不可逆，E+A可逆。
（C）E—A可逆，E+A可逆。
（D）E—A可逆，E+A不可逆。
2 设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )
（A）交换A*的第1列与第2列得B*。
（B）交换A*的第1行与第2行得B*。
（C）交换A*的第1列与第2列得一B*。
（D）交换A*的第1行与第2行得一B*。
3 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P－1AP=。若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q－
1AQ=( )
公务员体检尿检千万别用晨尿
4 设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则( )
（A）当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。
（B）当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关
（C）当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。
（D）当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。
5 设向量组，α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )
（A）α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关。
（B）α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关。
（C）α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关。
（D）α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关。
6 设α1，α2，α3均为三维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )
（A）必要非充分条件。
（B）充分非必要条件。
（C）充分必要条件。
（D）既非充分也非必要条件。
二、填空题
7 设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则｜B｜=_________。
8 设A为三阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=________。
9 设α，β为三维列向量，βT为β的转置，若矩阵αβT相似于，则
2020年国考进面名单βTα=________。
10 设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是_________。
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11 设(2E—C－1B)A T=C－1，其中E是四阶单位矩阵，A T是四阶矩阵A的转置矩阵，
求A。
11 已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，一1，a)T，β=(3，10，b，4)T，问：
12 a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示；
13 a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，并写出此表达式。
14 设α1，α2，α3，α4为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，试问实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也为Ax=0的一个基础解系。
15 已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3。若β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解。
15 设矩阵A=，E为三阶单位矩阵。
16  求方程组Ax=0的一个基础解系；税务师2023年报名
17  求满足AB=E的所有矩阵B。
17 设。
18  计算行列式｜A｜；
19  当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解。
20 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0。试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。2021年公务员考试时间省考
21 证明n阶矩阵相似。
22 设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值。并讨论A是否可相似对角化。
22 设矩阵A=相似于矩阵B=。
23  求a，b的值；
24 求可逆矩阵P，使P－1AP为对角阵。2021国考三不限岗位有哪些
国家免费教育资源网24 设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且
25  求A的所有特征值与特征向量；
26  求矩阵A。
27 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及正交矩阵Q。