[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编6
江苏卫生人才网一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A是三阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为
( )
2 设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3
河北人才市场行得单位矩阵。记，则A=( )
（A）P1P2。
（B）P1－1P2。
（C）P2P1。
（D）P2P1－1。
3 设，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )
（A）α1，α2，α3。
（B）α1，α2，α4。
（C）α1，α3，α4。
（D）α2，α3，α4。
4 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )
（A）α1一α2，α2一α3，α3一α1。
（B）α1+α2，α2+α3，α3+α1。
（C）α1一2α2，α2—2α3，α3—2α1。
（D）α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1。
5 设矩阵。若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为
( )
6 矩阵相似的充分必要条件为( )
中国工商银行网上银行（A）a=0，b=2。苏州公务员考试时间
（B）a=0，b为任意常数。
（C）a=2，b=0。
（D）a=2，b为任意常数。
7 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32，其中
P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )
（A）2y12—y22+y32。
（B）2y12+y22一y32。
（C）2y12一y22一y32。
（D）2y12+y22+y32。
二、填空题
浙江成人高考报名入口8 设三阶方阵A，B满足A2B一A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若
A=，则｜B｜=_________。
9 设A，B为三阶方阵，且｜A｜=3，｜B｜=2，｜A－1＋B｜=2，则｜A+B－1｜
=_________。
10 设A=，E为四阶单位矩阵，且B=(E+A)－1(E—A)则(E+B)－1=_________。
11 设A=(a ij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，A ij为a ij的代数余子式，若a ij ＋A ij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=_________。
12  设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ。若行列式｜2A｜=一48，则λ=________。
13 二次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则f的正惯性指数为
__________。
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13 设矩阵A=且A3=O。
14  求a的值；
15 若矩阵X满足X—XA2一AX+AXA2=E，E为三阶单位阵，求X。
16 确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示。
17 设，A=αβT，B=βTα。其中βT是β的转置，求解方程2B2A2x=A4x+B4x+γ。
17 设。
18 求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；
19 对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明：ξ1，ξ2，ξ3线性无关。
2020考研国家线预测19 设。已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解。
20  求λ，a；
21  求方程组Ax=b的通解。
22 设线性方程组与方程(2)：x1+2x2+x3=a一1有公共解，求a的值及所有公共解。
22 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。
23 证明α1，α2，α3线性无关；
24 令P=(α1，α2，α3)，求P－1AP。
25 若矩阵A=相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P －1AP=。
25 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。
26 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
27  求矩阵B。
27 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3。
28  求二次型f的矩阵的所有特征值；
29 若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。