[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(二)模拟103
专升本高等数学(二)模拟103



一、选择题
问题:1.  当x→0时，下列变量是无穷小量的是______
     
答案:C本题考查了无穷小量的知识点．
    经实际计算及无穷小量定义知应选C．
   
    注：先观察四个选项，从已知极限，先把A排除，再利用lnx的性质可把B排除，C自然可验证是正确的，由cotx的性质，可排除D项． 
问题:2.  曲线y=x3-3x上切线平行于x轴的点是______
A.(0，0)
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B.(1，2)
C.(-1，2)
D.(-1，-2)
答案:C本题考查了曲线上一点处的切线的知识点．
    由y=x3-3x得y'=3x2-3，令y'=0，得x=±1，经计算x=-1时，y=2；x=1时，y=-2，故选C． 
问题:3.  若f(u)可导，且y=f(ex)，则dy=______
A.f'(ex)dx
B.f'(ex)exdx
C.f(ex)exdx
D.f'(ex)
答案:B本题考查了复合函数的微分的知识点．
    因为y=f(ex)，所以，y'=f'(ex)exdx． 
问题:4.  已知函数y=f(x)在点飘处可导，且，则f'(x0)等于______
A.-4
B.-2
C.2
D.4
答案:B本题考查了利用定义求函数的一阶导数的知识点．
    因=于是f'(x0)=-2． 
问题:5.  如果在区间(a，b)内，函数f(x)满足f'(x)＞0，f"(x)＜0，则函数在此区间是______
A.单调递增且曲线为凹的
B.单调递减且曲线为凸的
C.单调递增且曲线为凸的
D.单调递减且曲线为凹的
答案:C本题考查了函数的单调性和凹凸性的知识点．
    因f'(x)＞0，故函数单调递增，又f"(x)＜0，所以函数曲线为凸的． 
问题:6.  曲线y=(x-1)3-1的拐点是______
A.(2，0)
B.(1，-1)
C.(0，-2)
D.不存在
答案:B本题考查了曲线的拐点的知识点．
    因y=(x-1)3-1，y'=3(x-1)2，y"=6(x-1)，令y"=0得x=1，当x＜1时，y"＜0；当x＞1时，y"＞0，又因y|x=1=-1，于是曲线有拐点(1，-1)． 
问题:7.  若，则f(x)等于______
     
答案:D本题考查了不定积分的知识点．
    因|f(x)dx=ln(x+)+C，所以f'(x)== 
问题:8.  下列反常积分收敛的是______
     
答案:C本题考查了无穷区间的反常积分的敛散性的知识点．
    对于选项A：=lim|cosxdx=lim(sinb-sin1)不存在，此积分发散；对于选项B：=不存在，此积分发散；对于选项C：，此积分收敛；对于选项D：=不存在，此积分发散． 
问题:9.  设z=xy，则dz=______
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B.xy-1dx+ydy
C.xy(dx+dy)
D.xy(xdx+ydy)
答案:A本题考查了二元函数的全微分的知识点．
    由，所以
     
问题:10.  某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.6，该建筑物经历了50年后，它将在10年内倒塌的概率等于______
A.0.25
B.0.30
C.0.35
D.0.40
答案:A本题考查了条件概率的知识点．
    设A={该建筑物使用寿命超过50年}，B={该建筑物使用寿命超过60年}
    由题意，P(A)=0．8，P(B)=0．6，所求概率为：
     



二、填空题
问题:1.  ______．
答案:0本题考查了极限的知识点．
   
     
问题:2.  当f(0)=______时，在x=0处连续．
答案:mk本题考查了函数在一点处连续的知识点．
   
    所以当f(0)=km时，f(x)在x=0处连续． 
问题:3.  若f'(x0)=1，f(x0)=0，______．
答案:-1本题考查了利用导数定义求极限的知识点．
   
   
    注：注意导数定义的结构特点．
     
问题:4.  设y=x2cosx+2x+e，则y'=______．
答案:2xcosx-x2sinx+2xln2本题考查了一元函数的一阶导数的知识点．
    (x2cos)'=2xcosx-x2sinx，(2x)'=2x·ln2，e'=0，所以y'=2xcosx-x2sinx+2xln2． 
问题:5.  ______．
答案:0本题考查了定积分的知识点．
    因函数在[-1，1]上是奇函数，因此．
    注：奇偶函数在对称区间上积分的性质是常考题目之一，应注意． 
问题:6.  ______．
答案:1本题考查了洛必达法则的知识点．
    ． 
问题:7.  设f(x)=e-x，______．
答案:本题考查了不定积分的知识点．
   
   
    本题也可另解如下：
    由f(x)=e-x得f'(x)=-e-x，所以f'(lnx)=-e-lnx=，故 
问题:8.  设z=cos(xy2)，______．
答案:-2xysin(xy2)本题考查了二元函数的一阶偏导数的知识点．
    因z=cos(xy2)，故=-sin(xy2)·(xy2)'=-2xysin(xy2)． 
问题:9.  设______．
答案:本题考查了二元函数的一阶偏导数的知识点．
   
     
问题:10.  设______．
答案:(1+xey)ey+xey本题考查了二元函数的混合偏导数的知识点．全国司法考试的报名时间
    因z=exey，于是
    ；
     



三、解答题
问题:1.
答案:原式==
    注：将分母sin2x用与之等价的无穷小量x2代换，这是一个技巧． 
问题:2.  试确定a，b的值，使函数
答案:
   
    因为f(x)在x=0处连续，则=，即a+1=b=2，即a=1，b=2． 
问题:3.  设y=lncosx，求y"(0)．
答案:所以y"(0)=-1．
问题:4.
答案:
问题:5.  从一批有10件正品及2件次品的产品中，不放回地一件一件地抽取产品，设每个产品被抽到的可能性相同，求直到取出正品为止所需抽取的次数X的概率分布．
答案:由题意，X的所有可能的取值为1，2，3，
海南事业单位考试    X=1，即第一次就取到正品，P{x=1}=；
    X=2，即第一次取到次品且第二次取到正品，
    ；
    同理，，
    故X的概率分布如下
     
问题:6.  确定函数y=2x4-12x2的单调区间、极值及函数曲线的凸凹性区间和拐点．
答案:y'=8x3-24x，y"=24x2-24，令y'=0，得．
    令y"=0，得时，y'＜0；＜x＜0时，y'＞0；
    0＜x＜时，y'＜0；x＞时，y'＞0．
    于是，函数的递增区间为；
    递减区间为；有极小值
    f(±)=-18，有极大值f(0)=0．
    又因当-∞＜x＜-1时，y"＞0，则y为凹函数；
研究生考试政治真题    当-1＜x＜1时，y"＜0，则y为凸函数；
    当1＜x＜+∞时，y"＞0，则y为凹函数．
    综上得函数y的凹区间为(-∞，-1)和(1，+∞)，凸区间为(-1，1)，且拐点为(-1，-10)和(1，-10)． 
问题:7.  求曲线y=x2与该曲线在x=a(a＞0)处的切线与x轴所围的平面图形的面积．
答案:如图所示，在x=a处切线的斜率为y'|x=a=2a，切线方程为y-a2=2a(x-a)，
   
    即y=2ax-a2，
     
问题:8.  求由方程2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4z+4=0确定的隐函数的全微分．
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答案:等式两边对x求导，将y看做常数，则=，
    同理，
    所以．