2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A
B =（ ）
A.{}2
B.{}2,3
C.{}3,4
D.{}2,3,4 2.已知2i z =-，则()i z z +=（ ）
A.62i -
B.42i -
C.62i +
D.42i +
司法考试 报名3.，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.2
B.
C.4
D.4.下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
单调递增的区间是（ ） A.0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B.,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.3,2
ππ⎛
⎫ ⎪⎝⎭ D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5.已知1F ，2F 是椭圆C ：22
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x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）
A.13
B.12
C.9
D.6
6.若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ
+=+（ ） A.65- B.25- C.25 D.65
7.若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ）
A.e b a <
B.e a b <
C.0e b a <<
D.0e a
b << 8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立
湖北省公务员职位表2022查询B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样数据的样本极差相同
10.已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（ ） A.12OP OP = B.12AP AP =
C.312OA OP OP OP ⋅=⋅
D.123OA OP OP OP ⋅=⋅
11.已知点P 在圆()()22
全国职业资格证书考试网5516x y -+-=上，点()4,0A ，()0,2B ，则（ ） A.点P 到直线AB 的距离小于10
B.点P 到直线AB 的距离大于2
C.当PBA ∠最小时，PB =
D.当PBA ∠最大时，PB =12.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）
A.当1λ=时，1AB P △的周长为定值
B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值
C.当12
λ=
时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.
14.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥.若6FQ =，则C 的准线方程为______.
15.函数()212ln f x x x =--的最小值为______.
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的
图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，
20dm 3dm ⨯三种规格的图形，
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它们的面积之和22180dm S =，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1n k k S
==∑______2dm .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。幼儿教师资格证报考要求
17.（10分）
已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,n n n a n a a n +⎩++⎧⎪=⎨⎪为奇数为偶数.
（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；
（2）求{}n a 的前20项和.
18.（12分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
安徽教育招生院校己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.（12分）
记ABC △是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，
sin sin BD ABC a C ∠=.
（1）证明：BD b =；
（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.
20.（12分）
如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.
（1）证明：OA CD ⊥；
（2）若OCD △是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45°，求三棱锥A BCD -的体积.
21.（12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F ，)2
F ，点M 满足12||||2MF MF -=.记M 的轨迹为C .
（1）求C 的方程；
（2）设点T 在直线12
x =上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.
22.（12分）
已知函数()()1ln f x x x =-.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b <+<.
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