2021年全国高考（新课标Ⅰ卷）数学试题及答案
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试
卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，
3.非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按
以上要求作答无效。安徽省教师编制招聘公告
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5}，则A ∩B=( )
A.{2}
B.{2,3}
C.{3,4,}
D.{2,3,4}
2.已知z=2-i ，则z ()z+1=( )
A.6-2i
B.4-2i
C.6+2i
D.4+2i
3.( )
A.2 C.4 4.下列区间中，函数f(x)=7sin(6x π-
)单调递增的区间是( ) A.(0,2
π) B.(,2ππ) C.(3,2ππ,) D.(3,22ππ,) 5.已知F 1,F 2是椭圆C ： 22
194
x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )
A.13
B.12
C.9
D.6
6.若tan θ=-2，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ
++=( ) A.65- B.25- C.25 D 65
. 7.若过点（a,b)可以作曲线y=ex 的两条切线，则( )
A.e b <a
B.e a <b
C.0<a<e b
D.0<b<e a
8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立
湖南省选调生2023年报考公告B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据x 1，x 2,…,x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2,…,y n，其中
y i =x i +c(i=1,2,…,n),c 为非零常数，则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同浙江二建准考证打印时间
D.两组样本数据的样本极差相同
10.已知O 为坐标原点，点P 1(cos α,sin α),P 2(cos β，-sin β),P 3(cos(α+β),sin(α+β))， A(1，0)，则( ) A.12OP OP = B.12AP AP =
C 312OA OP OP OP ⋅=⋅. D. 132OA OP OP OP ⋅=⋅
11.已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A （4,0），B （0,2），则( )
A.点P 到直线AB 的距离小于10
B.点P 到直线AB 的距离大于2
C.当∠
PBA 最小时， D.当∠
PBA 最大时，
12.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AA 1=1，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则( )
A ．当λ=1时，△P 的周长为定值
B.当μ=1时，三棱锥P-A 1BC 的体积为定值
C.当λ=
12
时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D.当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P 三．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知函数f(x)=3(22)x x x a -⋅-是偶函数，则a=____________云南省事业单位招聘公告2021年
14.已知O 为坐标原点，抛物线C:22(y px p =＞0)的焦点为F,P 为C 上一点，PF 与x 轴 垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP，若|FQ|=6，则C 的准线方程为____
15.函数f(x)=|2x-l|-2lnx 的最小值为____
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20d m ×l2dm 的长方形纸.对折1次共可以得到10d m ×2dm.20d m ×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1=240dm 2，对折2次共可以得5d m ×12dm ，10d m ×6dm ，20d m ×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2=180dm 2.以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______：如果对折n 次，那么1n K k S
=∑=______dm 2
A B C D
O E 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)已知数列{n a }满足1a =1，11,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数
.
(1)记2n n b a ==，写出b 1，b 2，并求数列{n b }的通项公式；
(2)求数列{n a }的前20项和
18.(12分)某学校组织"一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题・每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。
己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问題的概率为0.6.且能正确回答问题的概率与回答次序无关。
（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列：
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。
19.(12分)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,a b ，c，已知b 2=a c，点D 在边AC 上，
BDsin ∠ABC=a sinC.
(1)证明：BD=b ：
(2)若AD=2DC.求cos ∠ABC.
20.(12分)如图，在三棱锥A-BCD 中.平面ABD 丄平面BCD ，AB=AD.O 为BD 的中点.
(1)证明：OA ⊥CD ：
(2)若△OCD 是边长为1的等边三角形.点E 在棱AD 上.
DE=2EA.且二面角E-BC-D 的大小为45°，
求三棱锥A-BCD 的体积.
21.(12分)
在平面直角坐标系xOy 中，己知点F 1()，F 2)，点M 满足|MF 1|-|MF 2|=2.记M 的轨迹为C.
(1)求C 的方程;
(2)设点T 在直线12
x =上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点, 且|TA||TB|=|TP||TQ|，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和
22.(12分) 已知函数f(x)=x （1-lnx)
(1)讨论f(x)的单调性
(2)设,a b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-证明:2＜
11a b
+＜e .
2021年全国高考（新课标Ⅰ卷）数学试题参考答案
一、单选题
1-4 BCBA , 5-8 CCDB
二、多项选择题
9、CD ；10、AC ；11、ACD ；12、BD
三、填空题
13、1； 14、32x =-
； 15、1； 16、5；37202402
n n +-⋅ 四、解答题
17. 【解析】辽宁省人大常委会
（1）2n 为偶数，则2+122+2212,1,
n n n n a a a a +=+=+2+2211213,3,12,n n n n a a b b b a a +∴=+=+==+=即且
{}23n b ∴是以为首项，为公差的等差数列，
122,5,3 1.n b b b n ∴===-
（2）当n 为奇数时，11,n n a a +=-
{}()()
()()()()
()()1220
1319242024202420242024201210
20111210
山东省考公务员报名时间1=1092103155.2
n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b b b ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⨯=⨯+⨯=的前项和为：由得{}202155-10=300.n a ∴⨯的前项和为
18.【解析】
（1）X 的取值可能为0，20，100，
()()()()010.80.2,
200.810.60.32,1000.80.60.48,
P X P X P X ==-===⨯-===⨯=
X ∴的分布列为:
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