函数的极值与导数
结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．
重点：利用导数的知识求函数的极值．
难点：函数的极值与导数的关系．
方    法：合作探究
一新知导学
1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递______，f ′(x)______0，右侧f(x)单调递______，f ′(x) ______0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f ′(a)_____0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__________，(e，f(e))，与b类似的点还有__________ ．
我们把点a叫做函数f(x)的极______值点，f(a)是函数的一个极______值；把点b叫做函数f(x)的极______值点，f(b)是函数的一个极______值．
2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个___________；如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个__________．极大值与极小值统称为__________，极大值点与极小值点统称为__________．
3．理解极值概念时需注意的几点
(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧__________的点而言的．
(2)极值点是函数__________的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
(3)若f(x)在定义域[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数_________极值．
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极_______值．(如图)
牛刀小试
1．函数y＝x3＋1的极大值是(  )
A．1  B．0        C．2        D．不存在
2．下列说法正确的是(  )
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小
C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值
D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值
3．函数y＝x3－6x的极大值为(  )
A．4      B．3      C．－3        D．－4
4．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的极大值为__________，极小值为__________.内蒙古最烂的二本学校
二例题分析
例1求函数y＝3x3－x＋1的极值．
练习：设函数f(x)＝x3－ax2－9x的导函数为f ′(x)，且f ′(2)＝15.
(1)求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
例2已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a、b的值，并求f(x)的单调区间．
练习：设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.
例3右图是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间(－2,1)内f(x)是增函数； 
②在区间(1,3)内f(x)是减函数；
③x＝2时，f(x)取到极大值；             
④在x＝3时，f(x)取到极小值．
其中正确的是__________(将你认为正确的序号填在横线上)．
练习：函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(  )
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点       
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
例4 若a≠福建事业单位成绩查询0，试求函数f(x)＝－ax3－x2＋a2x2＋2ax的单调区间与极值．
例5已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a、b的值．
三作业
一、选择题
1．(2015·杭州高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(  )
A．1个        B．2个      C．3个        D．4个
2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(2020年国家公务员考试报名时间  )
A．－2或2    B．－9或3
C．－1或1    D．－3或1
3．设函数f(x)＝xex，则 (  )
A．x＝1为f(x)的极大值点    B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点    D．x＝－1为f(x)的极小值点
4．函数y＝ax3＋bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和，则(  )
A．a－2b＝0    B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0    D．a＋2b＝0
5．设函数f(x)＝＋lnx，则(  )
A．x＝为f(x)的极大值点    B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点    D．x＝2为f(招聘求职网x)的极小值点
6．若a>0，河南高校招聘b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(  )
A．2        B．3        C．6      D．9
二、填空题
7．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取得极小值时，x的值是________.
8．(2015·陕西文)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.
9．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________.
三、解答题
10．设函数y＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.
(1)求a，b，c的值；(2)求函数的递减区间．
答案aadddd
7.－1    8.y＝－
9.0<b<
10. [解析]　(1)因为函数的图象经过点(0,0)，
易得c＝0.
又图象与x轴相切于点(0,0)，且y′＝3x2＋2ax＋b，
故0＝3×02＋2a×0＋b，解得b＝0.
所以y＝x3＋ax2，则y′＝3x2＋2ax.
令y′＝0，解得x＝第二个百年目标指的是什么?0或x＝－a，
即x＝0和x＝－a是极值点．
由图象知函数在x＝0处取极大值，
故在x＝－a时取极小值．
当x＝－a时，函数有极小值－4，
所以(－a)3＋a(－)2＝－4，
整理得a3＝－27，解得a＝－3.故a＝－3，b＝0，c＝0.
(2)由(1)得y＝x3－3x2，则y′＝3x2－6x，
令y′<0，即y′＝3x2－6x<0，解得0<x<2，
所以，函数的递减区间是(0,2)．
课堂随笔:
后记与感悟: