福建省2022年高考·数学·考试真题与答案解析
——————————————————————————————————————  一、选择题
本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合，则（）{4},{31}M x
N x x =<=≥∣M N = A.    B. {}02x x ≤<123x x ⎧⎫
≤<⎨⎬⎩⎭C.    D. {}
316x x ≤<1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬
⎩⎭
2. 若，则（）i(1)1z -=z z +=A.    B.    C. 1  D. 2
2
-
1
-3. 在中，点D 在边AB 上，．记，则（）ABC  2BD DA =CA m CD n ==          ，CB
=A.    B.    C.    D. 32m n -  23m n -+  32m n +  23m n
+  4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库
水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积1485m ．
21400km ．1575m ．为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上21800km ．
1485m ．
升到）（）
1575m ．  2.65≈A.    B.    C.    D. 931.010m ⨯931.210m ⨯931.410m ⨯93
1.610m ⨯5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）
郑州中公教育A.
B.
C.
D. 16
13
12
23
6. 记函数的最小正周期为T ．若，且的图象关()sin (0)4f x x b πωω⎛
⎫=++> ⎪
⎝
⎭23T ππ<<()y f x =于点中心对称，则
（）3,22π⎛⎫
⎪⎝⎭2f π⎛⎫
河北华图= ⎪⎝⎭
A. 1
B.
C.
D. 3
3252
7. 设
，则（）0.1
10.1e ,ln 0.99
a b c ===-，
A.    B.    C.    D. a b c <<c b a <<c a b
<<a c b
<<8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且
36π
，则该正四棱锥体积的取值范围是（）
3l ≤≤A .  B. 8118,4⎡⎤⎢⎥
⎣⎦2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.    D. 2764,43⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
[18,27]
二、选择题
本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9. 已知正方体，则（）1111ABCD A B C D -A. 直线与所成的角为  B. 直线与所成的角为1BC 1DA 90︒1BC 1CA 90︒C. 直线与平面所成的角为  D. 直线与平面ABCD 所成的角为1BC 11BB D D 45︒
今日新闻
1BC 45︒
10. 已知函数，则（）
3
()1f x x x =-+A .有两个极值点
B. 有三个零点
()f x ()f x C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
(0,1)()y f x =2y x =()y f x =11. 已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于
(1,1)A 2遂宁人事考试网登录
:2(0)C x py p =>(0,1)B -P ，Q 两点，则（）
A. C 的准线为
B. 直线AB 与C 相切
1y =-C.    D. 2
|OP OQ OA ⋅>2
||||||
BP BQ BA ⋅>12. 已知函数
及其导函数
的定义域均为，记，若，()f x ()'f x R ()()g x f x '=322f x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
(2)
g x +均为偶函数，则（）A.    B.    C.    D. (0)0
f =10
2g ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
(1)(4)f f -=(1)(2)
g g -=
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭26
x y 14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
221x y +=22
(3)(4)16x y -+-=15. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．
()e x
y x a =+16. 已知椭圆，C 的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过
2222:1(0)x y C a b a b
+=>>1F 2F 1
2且垂直于的直线与C 交于D ，E 两点，，则的周长是1F 2AF ||6DE =ADE  ________________．
四、解答题
本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记为数列的前n 项和，已知是公差为的等差数列．n S {}n a 1
1,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭1
3（1）求的通项公式；
{}n a （2）证明：．12111
2n
a a a +++< 18. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，
b ，
c ，已知．
ABC  cos sin 21sin 1cos2A B
A B
=++（1）若，求B ；23
C π
=
（2）求的最小值．
22
2
a
b c +19. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
111ABC A B C -1A BC
（1）求A 到平面的距离；
1A BC （2）设D 为的中点，，平面平面，求二面角的正弦1AC 1AA AB =1A BC ⊥11ABB A A BD C --值．
20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好
良好病例组4060对照组
10
90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病体与未患该疾病体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选
到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的
(|)(|)P B A P B A (|)(|)
P B A P B A 一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：；
(|)(|)
医学检验职称考试(|)(|)
P A B P A B R P A B P A B =
英语六级成绩分布⋅（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计(|),(|)P A B P A B 值．
附，
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++()
2P K k ≥0.0500.0100.001k
3.841
6.635
10.828
21. 已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线(2,1)A 2222
:1(1)1
x y
C a a a -=>-,AP AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；
（2）若，求的面积．
tan PAQ ∠=PAQ △22. 已知函数和有相同的最小值．
()x
f x e ax =-()ln
g x ax x =-（1）求a ；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左y b =()y f x =()y g x =到右的三个交点的横坐标成等差数列．