山西省吕梁市2021届高三第一次模拟考试
数学（理）试卷
(本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上)
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．
是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.已知集合A ＝{x|－5≤x<2}，B ＝{x|y 24x  }，则A ∪B ＝
A.{x|－5≤x ≤－2}
B.{x|－5≤x<2}
C.{x|－5≤x ≤2}
D.{x|－2≤x<2}
2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是
A.f(x)＝x －
1x      B.f(x)＝e x －e －x      C.f(x)＝xsinx    D.f(x)＝ln(1－x)－ln(1＋x) 3.x 2>y 2的充分不必要条件是
A.x>y
B.y<x<0
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<<x
4.已知S n 为公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝18，a m ＝2，则m ＝
A.4
B.5
C.6
D.7
5.已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1，1)，a ·b ＝1，则|2a －b |＝ 532    D.1
6.已知函数y ＝f(x)的部分图象如下，试判断函数解析式为
A.f(x)＝xsinx
B.f(x)＝x2＋cosx
C.f(x)＝xsinx＋cosx
D.f(x)＝(e x－e－x)sinx＋1
7.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到
了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比t＝5
2
1
的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18，则
2
2 4
t t-
A.1
2
5  1    C.2    D.4
8.已知a＝log25，b＝0.5－2，
3
2
2
c=，则
A.b<c<a
B.c<a<b
C.a<b<c
D.a<c<b
9.已知直线l：mx＋ny－2＝0与圆x2＋y2＝4相交的弦长为2，则m＋n的取值范围为
A.[－2，2]
B.[22]
C.[－2，2]
D.[－4，4]
10.若直线l：y＝kx－2与函数f(x)＝
()
2
11
4
ln
31
x x
x x x
-<
-+
⎪≥
⎧⎪
⎨
⎩
，
，
的图象恰好有2个不同的公共点，则k的取值范
围为
A.(－∞，0)
B.(2，＋∞)∪54}
C.(－∞，0)∪[2，＋∞)
D.(－∞，0)∪(2，＋∞)∪54}
科目一必考的100道题11.如图四面体A－BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四边形EFGH满足EF//BC，FG//AD，则下列结论正确的个数为
①四边形EFGH 的周长为定值      ②四边形EFGH 的面积为定值
③四边形EFGH 为矩形            ④四边形EFGH 的面积有最大值1
A.0
B.1
C.2
D.3
12.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2)，数列{a n }的前99项和S 99
＝
A.()503918-
B.50918-
C.99312-
D.()
今年高考时间2023具体时间
493918- 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.设变量x ，y 满足约束条件23030230x y x y x y -+≥+-≤--≤⎧⎪⎨⎪⎩
，则目标函数z ＝－3x ＋y ＋2的最小值为____________。
14.函数f(x)＝alnx ＋bx 2
在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝4x －3，则a ＝________，b ＝________。
15.已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，AB ＝2，BC 5AC ＝3，E ，F 分别为AC ，PB 的中点，EF ＝
32
，则球O 的体积为_____________。 16.函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ<2
π)，则如下结论正确的序号是___________。 ①当ω＝2时，若f(x)图象的对称轴为x ＝3π，则φ＝－6
π； ②当ω＝2时，若f(x)的图象向右平移6
π单位长度后关于原点对称，则f(12π)＝1； ③当φ＝4π时，若f(x)的图象在区间[0，4π]内有且仅有一条对称轴，则ω的取值范围为[1，5)； ④当φ＝－4
π时，若集合{x ∈(0，π)|f(x)＝22}含有2020个元素，则ω的取值范围为(2019，2020.5)。 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos2C ＋2cosC ＝12
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(1)求C 的值；
(2)若b ＝2，c ＝
6，求△ABC 的面积。
18.(本小题满分12分)
如图三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，BC ＝2，AC 1＝1，C 1A ⊥平面ABC 。
(1)证明：AB ⊥平面ACC 1A 1；
(2)求AB 1与平面BCC 1所成的角的正弦值。
19.(本小题满分12分)
已知数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝na n ＋n ＋1。
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(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)S n 为数列{11n n a a  }的前n 项和，求证：23
≤S n <2。 20.(本小题满分12分)
如图正方形ABCD 纸片的边长为2O ，正方形EFGH 的中心也是O ，△AEH ，△BEF ，△CFG ，△DGH 分别是以EH ，EF ，FG ，GH 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以EH ，EF ，FG ，GH 为折痕折起△AEH ，△BEF ，△CFG ，△DGH ，使得A 、B 、C 、D 重合于点S ，得到四棱锥S －EFGH ，设正方形EFGH 的边长为x 。
(1)用x 表示四棱锥S －EFGH 的体积V(x)；
(2)当V(x)最大时，求四棱锥S －EFGH 的表面积。
21.(本小题满分12分)
已知两定点M(1，0)，N(4，0)，点P 满足|PN|＝2|PM|。
(1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)若D(0，－2)，直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，DA ，DB 的斜率之和为2，直线l 是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由。
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax－xlnx，(a∈R)的最大值为1。
河北公务员考试成绩什么时候公布(1)求a的值；
(2)证明：f(x)≤e－2x＋2x2。
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数学（理）试卷参考答案